Teoremas – Demostraciones

Errores cometidos en las series de Taylor

Habíamos visto que podemos aproximar ciertas funciones (por lo general funciones trascendentes) mediante el uso del polinomio de Taylor, donde la función $f$ debe satisfacer lo siguiente:

Debe ser diferenciable en algún intervalo $I$ ;
La función debe poseer al menos un punto $c\in I$ donde $f(c)=0$

Por ejemplo, para la función seno y coseno puede evaluarse cada derivada en $x=0$ , ya que $sen^{(2k)}(0)=0$ y $cos^{(2k+1)}(0)=0$ . Sin embargo, para la función logaritmo natural no cumple en $x=0$ pues ni siquiera está definida en cero, pero sí cumple en $x=1$ .

Lo que queremos lograr es hallar un polinomio $P$ definido en puntos iguales por la función $f$ , es decir que $f(x)=P(x)$ .

Tomemos como ejemplo nuevamente la función seno. Si necesitamos hallar un ángulo sin el uso de la calculadora científica, lo podemos hacer en un procedimiento de pasos finitos. Hallemos el seno del ángulo $\theta=\frac{\pi}{4}$ por serie de Taylor en digamos tres sumandos:

$\displaystyle sen\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg)\simeq\sum_{i=0}^2 \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg)^{2i+1}=0,707143045\cdots$

Que es bastante aproximado al valor real de la función $sen(\frac{\pi}{4})=0,707106781\cdots$

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Teoremas de Bolzano y Weierstrass a partir del conjunto de Cantor

Los teoremas de Bolzano y Weiertrass son teoremas importantes utilizadas en el área del Análisis Matemático, específicamente en funciones continuas, donde el primero indica la existencia de un punto cero entre dos funciones de signos opuestos y el otro la existencia de un punto mínimo y un punto máximo. Del sitio blog Café Matemático, del cual es autor Miguel Lacruz Martín (Universidad de Sevilla), he encontrado una demostración utilizando el conjunto de Cantor, que nos servirá para demostrar estos dos teoremas. Continuar leyendo «Teoremas de Bolzano y Weierstrass a partir del conjunto de Cantor»

El pequeño teorema de Fermat

El pequeño teorema de Fermat, es un teorema afirmado por el aficionado en matemáticas Pierre de Fermat, relacionado con divisibilidad y números primos. Los chinos conocían en los años 500 que $p|(2^p-2)$ para cada p primo. En una carta enviado a Frenicle de Bessy en 1640, Fermat afirmó tener una prueba de un resultado más general: Continuar leyendo «El pequeño teorema de Fermat»

El conjunto de Cantor y el nacimiento de los fractales I

Introducción

El conjunto de Cantor de tercio medio fue construido por primera vez a fines del siglo XIX por Georg Cantor para resolver un problema de la nueva topología consistente en la existencia de un subconjunto no vacío de $\mathbb{R}$ totalmente inconexo y denso en sí mismo. Cantor demostró su existencia, pero en el siglo XX se probó que estos conjuntos son topológicamente equivalentes (homeomorfos).