Los números de Mersenne

Definición. Los números de Mersenne son aquellos números primos que pueden escribirse de la forma M_p=2^p-1.

En 1644, Marin Mersenne afirmó que n es primo para p = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 y 257 pero que para los otros 44 primos menores que 257 salen números compuestos. Se ha conjeturado que existe una infinidad de primos de Mersenne.

Cataldi había afirmado el siguiente teorema.

Teorema (Cataldi-Fermat). Si 2^n-1 es primo, n es primo.

Para comprobar si es primo o no, se habían basado en la expresión de los Cocientes Notables

\cfrac{x^n-1}{x-1}=x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x^2+x+1\qquad{(1)}

si a^n-1 es primo, entonces a=2¹. Si consideramos que n es compuesto, entonces x=a^l\;, n=k^.l

\cfrac{a^{kl}-1}{a^l-1}=a^{(k-1)l}+a^{(k-2)l}+\cdots+a^{2l}+a^l+1

Al multiplicar por a^l-1 la expresión toma esta forma

a^{kl}-1=\big(a^l-1\big)\big(a^{(k-1)l}+a^{(k-2)l}+\cdots+a^{2l}+a^l+1\big)

Sustituimos, en nuestro caso a=2

2^n-1=\big(2^l-1\big)\big(2^{(k-1)l}+2^{(k-2)l}+\cdots+2^{2l}+2^l+1\big)\qquad{(2)}

Apreciamos que si n es compuesto la expresión 2^k-1 multiplica a otro número, lo que destruye la definición de número primo.

Ahora bien, si n es primo entonces n=k, por tanto l=1, es decir no es múltiplo de otro número. Luego reemplazamos en (2)

2^n-1=\big(2-1\big)\big(2^{(k-1)}+2^{(k-2)}+\cdots+2+1\big)\qquad{}

Y así, la expresión

2^n-1=2^{(k-1)}+2^{(k-2)}+\cdots+2+1

puede ser primo (pues será impar), aunque puede que sea compuesto. Sin embargo, si sabemos que este número es primo, entonces debe ser cierto que n es primo.

En 1738 Euler resolvió la última de las afirmaciones de Cataldi cuando demostró que 2^{29}-1 no era primo, por lo tanto las conjeturas de Cataldi no habían sido muy acertadas. Debería apreciarse que Mersenne había acertado en algunas cuentas, ya que p=31 aparece en su lista pero p=29 no.


¹Esto es así porque un número primo no puede ser par (a excepción del dos) ya que sería divisible por 2. Así 2^k-1 puede ser un número primo.

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