Teoremas de Bolzano y Weierstrass a partir del conjunto de Cantor

Los teoremas de Bolzano y Weiertrass son teoremas importantes utilizadas en el área del Análisis Matemático, específicamente en funciones continuas, donde el primero indica la existencia de un punto cero entre dos funciones de signos opuestos y el otro la existencia de un punto mínimo y un punto máximo. Del sitio blog Café Matemático, del cual es autor Miguel Lacruz Martín (Universidad de Sevilla), he encontrado una demostración utilizando el conjunto de Cantor, que nos servirá para demostrar estos dos teoremas. Para esto debemos valernos primero de los siguientes teoremas:

Teorema (de conservación del signo). Si f es continua en a y f(x)>0 entonces \exists \delta >0 tal que f es positiva en el entorno (a-\delta, a+\delta).

Teorema (de acotación de la función). Si f es continua en a entonces \exists \delta >0  tal que la función está acotada superiormente en (a-\delta, a+\delta).

Teorema de Bolzano. Si f es una función continua en un intervalo cerrado [a, b] tal que f(a)f(b)<0 entonces existe un punto c tal que f(c)=0.

Demostración. Sea f:[a,b]\to\mathbb{R} continua tal que f(a)<0<f(b) (sin perder generalidad). Entonces o f(\frac{a+b}{2})=0f tiene distintos signos en cada extremo del intervalo cerrado [(a+b)/2, b] o tiene  signos en cada extremo del intervalo cerrado [(a+b)/2, b]. Asignemos I_1 a aquél de los dos intervalos donde f cambia de signo. Dividimos I_1 por el punto medio de modo que f es cero en el punto medio o cambia de signo en alguno de los dos subintervalos, digamos I_2. Continuando con el proceso se obtiene una sucesión de intervalos cerrados encajados I_1\supseteq{I_2}\supseteq\cdots\supseteq{I_n}, con la propiedad de que f cambia de signo en los extremos de I_n y tal que la longitud de I_n sea igual a \frac{b-a}{2^n}. Según el principio de Cantor de intervalos encajados entonces existe c tal que

c\in\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n

Tenemos tres posibilidades para el valor de la función valorada en c: es positiva, es negativa o es cero. Vemos que si f(c)>0, de acuerdo con el teorema de la conservación del signo existe \delta>0 tal que f(x)>0,\; \forall x\in[a,\;b] con |x-c|<\delta. Sea n\in\mathbb{N} tal que \frac{b-a}{2^n}; tenemos c\in I_n\subseteq{(c-\delta,c+\delta)}, luego f(x)>0\;\forall x\in I_n, y llegamos a una contradicción ya que f cambia de signo en I_n. Se llega análogamente a una contradicción con f(x)<0. Por tanto f(x)=0.

Teorema de Weierstrass. Si una función f es continua en un intervalo compacto (cerrado y acotado)[a,b] entonces hay al menos dos puntos x_1,\; x_2 pertenecientes a [a,b] donde f alcanza valores extremos absolutos, es decir f(x_1) \le f(x) \le f(x_2), para cualquier x\in [a,b].

Demostración. Supongamos que f:[a,b]\to\mathbb{R} es continua pero no es acotada. Dividimos el intervalo [a, b] por su punto medio de modo que o bien f no es acotada en el intervalo [a, \frac{a+b}{2}]o bien f no es acotada en el intervalo [\frac{a+b}{2}, b]. Sea I_1 aquí el subintervalo donde f no es acotada. Dividimos el intervalo I_1 por su punto medio en dos subintervalos de modo que f no es acotada en uno de ellos, digamos I_2. Continuando este proceso obtenemos una sucesión de intervalos cerrados encajados 1\supseteq{I_2}\supseteq\cdots\supseteq{I_n}tal que f no es acotada en I_n y su longitud igual a \cfrac{b-a}{2^n}. Según el principio de Cantor de intervalos cerrados encajados existe

c\in\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}I_n

Como f es continua en c, se sigue que mediante el teorema de acotación de la función existe \exists\delta > 0 tal que f está acotada en (c−δ, c+δ). Sea n\in\mathbb{N} tal que \cfrac{b-a}{2^n}. Tenemos c\in I_n\subseteq{(c-\delta,c+\delta)} luego f está acotada en I_n y hemos llegado a una contradicción.

Anuncios
Esta entrada fue publicada en Análisis Matemático, Teoremas y etiquetada , . Guarda el enlace permanente.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s