La increíble aproximación pandigital

Un número se dice que es pandigital cuando puede expresarse con todos los dígitos de una misma base, que por lo menos aparezcan una vez. Por ejemplo, 1223334444555556666667777777888888889999999990 es un número pandigital; así como 2170348569 = 46587 2 + (0 × 139).

Poder aproximar al conocido número e como un número en donde aparezcan todos los dígitos del 1 al 9 y con un error bastante pequeño, hace que esto sea sorprendente. Esto fue lo que hizo Richard Sabey. Encontró la increíble aproximación

(1+9^{-4^{6\times 7}})^{3^{2^{85}}} Seguir leyendo

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Integración en espacios topológicos

Tal como muchos saben, dada una función f:X\subset \mathbb R^n\to\mathbb R^m, dada una partición \mathcal P:=\bigcup\{\prod M_{\alpha}:M_{\alpha}\in P_i\} (entiéndase producto cartesiano), siendo P_i particiones de [a_i,b_i], \ i\leq n, del n-paralelepípedo X\subset B=\prod_{i=1}^n[a_i,b_i], definimos las integrales superiores

 \displaystyle\overline{\int_B} f dx:=\inf \{S(f,\mathcal P) : \mathcal P \text{ es partici\'on }\}

e integrales inferiores

 \displaystyle\underline{\int_B} f dx:=\sup \{s(f,\mathcal P) : \mathcal P \text{ es partici\'on }\} Seguir leyendo

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Dimensión fractal

Aunque actualmente no se dispone de una definición rigurosa de lo que es un fractal [término acuñado por Benoît Mandelbrot en 1975], podemos afirmar que se trata de un objeto geométrico cuya característica irregular está basada en la autosimilitud. Los fractales no pueden ser descritos en una geometría convencional, por esta razón está aislada de términos geométricos que formalmente conocemos.

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La conjetura de Collatz

En 1937 el matemático alemán Lothar Collatz conjeturó un problema bastante curioso y
simple, pero hasta nuestros días aún no tiene solución.  Se trata de una función recurrente que siempre termina en 1; ésta función se define cuanto sigue

C_k(n) = \begin{cases} n/2 & \mbox{si } n \equiv 0 \mod 2 \\ 3n+1 & \mbox{si } n \equiv 1 \mod 2\end{cases} Seguir leyendo

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Propiedades de las transformaciones diferenciales

Sea f una función de una variable, f:(a,b)\to\mathbb R. Decimos que f es diferenciable en x_0\in(a,b) si existe el límite

f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

O equivalentemente, si pasamos f'(x_0) al otro miembro y sustituimos h\to 0 por x\to x_0 (esto es h\approx x-x_0), se tiene

\displaystyle\lim_{x\to x_0}\cfrac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=0

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Divisores de un número factorial

¿Cómo saber cuántos divisores tiene un número factorial?, es más ¿cuánto es la suma de un número factorial? Recordemos que un número factorial es aquel número natural tal que está conformado por el producto desde uno hasta el número, es decir n!=1\cdot 2 \cdots (n-1) \cdot n.

Primero definamos una función aritmética multiplicativa, a una función f:\mathbb Z^+\to \mathbb C tal que para m,n\in\mathbb Z^+ donde mcd(m,n)=1, se cumple que

f(mn)=f(m)f(n)

Sea  n\in\mathbb Z^+, por el Teorema Fundamental de la Aritmética un entero positivo se puede descomponer en factores primos de manera única, salvo el orden, por tanto se puede representar cuanto sigue

n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}=\displaystyle\prod_{i=1}^{r}p_i^{\alpha_i}

Representamos d a los divisores de n, ya que éstos pueden ser primos o compuestos.

Algunas funciones aritméticas multiplicativas conocidas son las que siguen:

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Divisibilidad

El estudio de la divisibilidad y los números primos es un incesante problema hasta nuestros días (¡tan sólo en los números enteros!) que tiene lugar en uno de los campos más longevos de la matemática: la teoría de números. Podemos bien citar algunos de los problemas abiertos como la conjetura fuerte de Goldbach (la débil fue demostrada por el peruano Harald Helfgott hace poco), la conjetura de los primos gemelos, la conjetura de Collatz, o la existencia de los números primos de Fermat para n>4 (y la lista continúa). Al parecer, lo que más han estado dando dolor de cabeza a los matemáticos son los números primos, que parece tan irregular en su distribución, y lo seguirá siendo, si no se resuelve la más popular de todas las conjeturas: la hipótesis de Riemann.

Empero quien quiera embarcarse en demostrar algunos de estos problemas abiertos de teoría de números, deberán sin más iniciar sus estudios en el fundamento de ello: la divisibilidad.

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