La conjetura de Collatz

En 1937 el matemático alemán Lothar Collatz conjeturó un problema bastante curioso y
simple, pero hasta nuestros días aún no tiene solución.  Se trata de una función recurrente que siempre termina en 1; ésta función se define cuanto sigue

C_k(n) = \begin{cases} n/2 & \mbox{si } n \equiv 0 \mod 2 \\ 3n+1 & \mbox{si } n \equiv 1 \mod 2\end{cases} Seguir leyendo

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Propiedades de las transformaciones diferenciales

Sea f una función de una variable, f:(a,b)\to\mathbb R. Decimos que f es diferenciable en x_0\in(a,b) si existe el límite

f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

O equivalentemente, si pasamos f'(x_0) al otro miembro y sustituimos h\to 0 por x\to x_0 (esto es h\approx x-x_0), se tiene

\displaystyle\lim_{x\to x_0}\cfrac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=0

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Divisores de un número factorial

¿Cómo saber cuántos divisores tiene un número factorial?, es más ¿cuánto es la suma de un número factorial? Recordemos que un número factorial es aquel número natural tal que está conformado por el producto desde uno hasta el número, es decir n!=1\cdot 2 \cdots (n-1) \cdot n.

Primero definamos una función aritmética multiplicativa, a una función f:\mathbb Z^+\to \mathbb C tal que para m,n\in\mathbb Z^+ donde mcd(m,n)=1, se cumple que

f(mn)=f(m)f(n)

Sea  n\in\mathbb Z^+, por el Teorema Fundamental de la Aritmética un entero positivo se puede descomponer en factores primos de manera única, salvo el orden, por tanto se puede representar cuanto sigue

n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}=\displaystyle\prod_{i=1}^{r}p_i^{\alpha_i}

Representamos d a los divisores de n, ya que éstos pueden ser primos o compuestos.

Algunas funciones aritméticas multiplicativas conocidas son las que siguen:

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Divisibilidad

El estudio de la divisibilidad y los números primos es un incesante problema hasta nuestros días (¡tan sólo en los números enteros!) que tiene lugar en uno de los campos más longevos de la matemática: la teoría de números. Podemos bien citar algunos de los problemas abiertos como la conjetura fuerte de Goldbach (la débil fue demostrada por el peruano Harald Helfgott hace poco), la conjetura de los primos gemelos, la conjetura de Collatz, o la existencia de los números primos de Fermat para n>4 (y la lista continúa). Al parecer, lo que más han estado dando dolor de cabeza a los matemáticos son los números primos, que parece tan irregular en su distribución, y lo seguirá siendo, si no se resuelve la más popular de todas las conjeturas: la hipótesis de Riemann.

Empero quien quiera embarcarse en demostrar algunos de estos problemas abiertos de teoría de números, deberán sin más iniciar sus estudios en el fundamento de ello: la divisibilidad.

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Paradoja del barbero

Tras dos decenios de ardua faena del lógico-matemático alemán Gottlob Frege (1848-1925) en su conocido ´´programa logicista´´, consistente en deducir la matemática a partir de la lógica, y más aun, demostrar los teoremas usando solamente lógica, Frege sentía cómo se iba asentando la teoría de conjuntos y la lógica en nuevos métodos de demostraciones.

No obstante, en 1902, cuando se estaba terminando de imprimir su segundo volumen ´´Las Leyes Fundamentales de la Aritmética´´ Frege recibía en sus manos una carta del también lógico Bertrand Russell, aseverando las falencias que había encontrado del volumen anterior. Seguir leyendo

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Segmentos orientados

La inclusión de números negativos fue importante para el avance de las matemáticas, principalmente en el desarrollo del álgebra. De este modo, al igual que el álgebra, la geometría trajo consigo grandes avances en la inclusión de la orientación de segmentos. La geometría de Euclides fue incluida a esta geometría dirigida, que tiene aplicaciones importantes en campos como la física. Supongamos que tenemos un móvil que se mueve a cierta distancia en línea recta, luego regresa al mismo punto de partida, entonces la geometría moderna nos interroga: ¿cuál es la distancia desde el punto de partida?, y no ¿cuál es la medida de su recorrido total?, porque lo que interesa es la relación de un punto con otro.

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Deducción de la fórmula para el binomio de Newton

Para muchos el binomio de Newton es uno de los resultados más hermosos de las matemáticas, que es atribuido por Isaac Newton a pesar de ser descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.

Newton nunca publicó este teorema, pues lo hizo John Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

Todo comienza con estudiar cómo se comporta el producto

(a+b)^k=\underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}_{k \ veces}

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