Deducción de la fórmula para el binomio de Newton

Para muchos el binomio de Newton es uno de los resultados más hermosos de las matemáticas, que es atribuido por Isaac Newton a pesar de ser descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.

Newton nunca publicó este teorema, pues lo hizo John Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

Todo comienza con estudiar cómo se comporta el producto

(a+b)^k=\underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}_{k \ veces}

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Lógica formal

Se entiende por lógica como el conocimiento humano a partir del cual se quiere llegar a deducir algún razonamiento. La lógica ya era estudiada filosóficamente por Aristóteles. El contexto de lógica trascendental había sido utilizada por Kant, por principios intuitivos a priori (tal como lo caracterizaba). Empero, no fue sino hasta el siglo XX que Russell y Whitehead presentan Principia Mathematica en 1910, un libro que trataría de la metamatemática, una estructura logicista que brindaría a partir de aquel entonces la lógica formal, que más tarde otros grandes contribuirían en demostraciones rigurosas.

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Hablando de amigos…

En esta semana se celebra el día internacional de la amistad, específicamente el 30 de julio, una fecha que debe ser valorada por el significado de la amistad.  El responsable de esta fecha es el compatriota Artemio Bracho quien tras varios años de lucha consiguió que las Naciones Unidas promueva como “día internacional”.

Y ya que recordamos a los amigos, nos remontamos nuevamente a los pitagóricos, quienes conocían el concepto de amistad y de números amigos

Una dupla de números amigos (A, B) es aquella en la que la suma de los divisores propios de A sea igual a B, y la suma de los divisores propios de B sea igual a A.

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Nicolás Bourbaki y el tratado de las matemáticas modernas

Entre los años 1870 y 1930 las matemáticas constituían un gran avance con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el conjunto de Cantor, los resultados de la topología, el álgebra no conmutativo, álgebras de Lie, entre otros; sin embargo el estudiante e incluso el matemático tenía confusiones a la hora de comprender el nuevo surgimiento y hasta para entender los más antiguos, y donde no existía algún libro inteligible para profundizar el estudio.

No obstante, surgió un matemático para apartarlo todo y realizar un esquema organizativo de las nuevas ideas, se escribieron una serie de libros bajo el nombre de Nicolas Bourbaki, se trata de un matemático poldavo… Bien, en realidad Bourbaki no es un matemático, sino un grupo colectivo de grandes matemáticos (en su mayoría franceses) bajo este seudónimo.

¿A qué se debe entonces esta falsa creación? Antes de ser una convención ultra secreta se trata más bien de algo jocoso con fines bien argumentados.

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Errores cometidos en las series de Taylor

Habíamos visto que podemos aproximar ciertas funciones (por lo general funciones trascendentes) mediante el uso del polinomio de Taylor, donde la función f debe satisfacer lo siguiente:

  • Debe ser diferenciable en algún intervalo I;
  • La función debe poseer al menos un punto c\in I donde f(c)=0

Por ejemplo, para la función seno y coseno puede evaluarse cada derivada en x=0, ya que sen^{(2k)}(0)=0 y cos^{(2k+1)}(0)=0. Sin embargo, para la función logaritmo natural no cumple en x=0 pues ni siquiera está definida en cero, pero sí cumple en x=1.

Lo que queremos lograr es hallar un polinomio P definido en puntos iguales por la función f, es decir que f(x)=P(x).

Tomemos como ejemplo nuevamente la función seno. Si necesitamos hallar un ángulo sin el uso de la calculadora científica, lo podemos hacer en un procedimiento de pasos finitos. Hallemos el seno del ángulo \theta=\frac{\pi}{4} por serie de Taylor en digamos tres sumandos:

\displaystyle sen\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg)\simeq\sum_{i=0}^2 \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg)^{2i+1}=0,707143045\cdots

Que es bastante aproximado al valor real de la función sen(\frac{\pi}{4})=0,707106781\cdots

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Sumas de Riemann

Desde la era de los antiguos egipcios, griegos, chinos e indios el problema de encontrar el área para cualquier figura ha sido todo un reto para los matemáticos.

No fue hasta el siglo XVI que empezaron los adelantos significativos sobre el método de exhausción.

En el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del cálculo, se mejoró el estudio realizado de manera independiente por parte de Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Bernard Riemann, empleando límites.

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La infinitud de los números primos

Como muchos ya lo saben, el conjunto de los números naturales se define por expansión como \mathbb{N}=\{1,2,3,4, \cdots, n,\cdots\}, y considerando n>1 puede ser divida en:

  • Números primos: Todos los números que poseen exactamente dos divisores (el 1 y el mismo número).
  • Números compuestos: Aquellos números que no son primos.

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