El conjunto de Cantor y el nacimiento de los fractales I

Introducción

El conjunto de Cantor de tercio medio fue construido por primera vez a fines del siglo XIX por Georg Cantor  para resolver un problema de la nueva topología consistente en la existencia de un subconjunto no vacío de \mathbb{R} totalmente inconexo y denso en sí mismo. Cantor demostró su existencia, pero en el siglo XX se probó que estos conjuntos son topológicamente equivalentes (homeomorfos).

Construcción del conjunto de Cantor

Sea el intervalo cerrado J=[0,1], supóngase que se le divide en tres subintervalos de igual longitud, a saber [0, 1/3], (1/3, 2/3) y [2/3, 1], luego se le elimina el tercio medio. Cada uno de estos subintervalos es dividido nuevamente en tres partes iguales y se eliminan los medios de cada intervalo. Se repite este procedimiento sucesivamente (infinitas veces). Denotemos a \mathcal{C}_n a la unión de todos los intervalos cerrados que permanecen hasta la n-ésima iteración.

Denotemos por \mathcal{J}_{n,j} al i-ésimo intervalo presente en la n-ésima iteración y por \mathcal{I}_{n,j} al j-ésimo ausente en la misma iteración.

\mathcal{C}_n=\displaystyle\bigcup_{k=1}^{2^n}\mathcal{J}_{n,k}

Además

\mathcal{C}=\displaystyle\bigcap_{n=1}^{\infty}\mathcal{C}_{n}

Cardinalidad

Sea \mu la función de medida en \mathbb{R}, \mathcal{C} el conjunto de Cantor de tercio medio y \mathcal{C}^C el complemento del mismo, esto es \mathcal{C}^C=[0, 1], ya que el conjunto de Cantor \mathcal{C} es tan pequeño que tiende a cero. Lo que desencadena el siguiente

Teorema 1. \mu(\mathcal{C})=0

Demostración

\mu(\mathcal{C^C})=\cfrac{1}{3}+\cfrac{2}{9}+\cfrac{4}{27}+\cdots=\displaystyle\sum^{\infty}_{i=1}\cfrac{2^{i-1}}{3^i}=\cfrac{1}{2}\displaystyle\sum^{\infty}_{i=1}\cfrac{2^{i}}{3^i}

Sea A=\displaystyle\sum^{\infty}_{i=1}\bigg(\cfrac{2}{3}\bigg)^i, entonces

A+1=1+\displaystyle\sum^{\infty}_{i=1}\bigg(\cfrac{2}{3}\bigg)^i=\displaystyle\sum^{\infty}_{i=0}\bigg(\cfrac{2}{3}\bigg)^i

Como se trata de una serie geométrica de razón 2/3, sabemos que converge, por tanto

A+1=\cfrac{1}{1-\frac{2}{3}}=3

donde A=2, por tanto

\mu(\mathcal{C}^C)=\cfrac{1}{2}A=1

Además, la longitud del intervalo [0,1] es

\mu([0,1])=1

Finalmente, verificamos que

\mu(\mathcal{C})=1-\mu(\mathcal{C}^C)=1-1=0

ya que \mu(\mathcal{C})+\mu(\mathcal{C}^C)=1, porque forman el intervalo cerrado de longitud 1.


REFERENCIA:

  • JOSÉ GALAVÍZ CASAS. El Conjunto de Cantor. Instituto de Matemáticas, Universidad Nacional Autónoma de México.
Anuncios
Esta entrada fue publicada en Fractales, Teoría de Conjuntos, Teoremas, Topología. Guarda el enlace permanente.

Una respuesta a El conjunto de Cantor y el nacimiento de los fractales I

  1. Pingback: Teoremas de Bolzano y Weierstrass a partir del conjunto de Cantor | Demostraciones Matemáticas

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s