Series de Taylor

Un procedimiento menesteroso para obtener resultados teóricos que reducirán los cálculos de funciones, es a partir de funciones polinómicas que veremos en este artículo. Pero antes, analicemos. Como sabemos, muchas de las funciones importantes como las trigonométricas (seno, coseno, etc.), exponenciales, logarítmicas, entre otras, tienen resultados gráficos que pasan por el eje de abscisas -es decir, siempre y cuando x=0; donde podremos calcular término a término hasta llegar a una aproximación del valor real.

En azul la función exponencial original. En rojo, la aproximación de la función por series de Taylor.

Un poco de historia

El filósofo eleata Zenón de Elea consideró el problema de sumar una serie infinita para lograr un resultado finito, pero lo descartó por considerarlo imposible. Posteriormente, Aristóteles propuso una resolución filosófica a la paradoja, pero el contenido matemático de esta no quedó resuelto. Fue a través del método exhaustivo de Arquímedes que un número infinito de subdivisiones geométricas progresivas podían alcanzar un resultado trigonométrico finito. Independientemente, Liu Hui utilizó un método similar cientos de años después.

En el siglo XIV, los primeros ejemplos del uso de series de Taylor y métodos similares fueron dados por Madhava de Sangamagrama. A pesar de que hoy en día ningún registro de su trabajo ha sobrevivido a los años, escritos de matemáticos hindúes posteriores sugieren que él encontró un número de casos especiales de la serie de Taylor, incluidos aquellos para las funciones trigonométricas del seno, coseno, tangente y arcotangente.

Brook Taylor

En el siglo XVII, James Gregory también trabajó en esta área y publicó varias series de Maclaurin. Pero en 1715 se presentó una forma general para construir estas series para todas las funciones para las que existe y fue presentado por Brook Taylor, de quién recibe su nombre.

Las series de Maclaurin fueron nombradas así por Colin Maclaurin, un profesor de Edinburgo, quién publicó el caso especial de las series de Taylor en el siglo XVIII.

Teorema

La serie de Taylor de una función f real o compleja ƒ(x) infinitamente diferenciable en el entorno de un número real o complejo a es la siguiente serie de potencias:

f(a)+\cfrac{f'(a)}{1!}(x-a)+\cfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cfrac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\cfrac{f^{(N)}(a)}{N!}(x-a)^N

Para encontrar un polinomio apropiado, conviene antes examinar las funciones polinómicas más detenidamente.

Demostración

Primeramente, vemos que es interesante -y muy importante- notar que los coeficientes a_i pueden expresarse en términos del polinomio p(x) y de sus distintas derivadas en 0 (cero). Observemos que

p(0)=a_0+a_1(0)+a_2(0)^2+a_3(0)^3+\cdots+a_N(0)^N\Rightarrow p(0)=a_0

Sea  p(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3+\cdots+a_Nx^N un polinomio de grado n (por ende, a lo sumo n raíces); al derivar esta expresión se obtiene

p'(x)=a_1+2a_2x+3a_3x^2+\cdots+Na_Nx^{N-1}

por lo tanto,

p'(0)=a_1

Luego, al derivar dos veces

p''(x)=2a_2+3^.2a_3x+\cdots+N(N-1)a_nx^{N-2}

por lo tanto,

p''(0)=2a_2

Por lo que obtenemos generalizando, cada k-ésimo término del polinomio derivado

p^{k}(0)=k!a_k, ó bien a_k=\cfrac{p^k(0)}{k!}

Entonces, podemos sumar cada término, donde 0≤k≤n, y obtenemos finalmente la expresión buscada

f(x)=f(a)+\frac{f'(a)}{1!}(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\frac{f^{(3)}(a)}{3!}(x-a)^3+\cdots+\frac{f^{(N)}(a)}{N!}(x-a)^N

donde puede reducirse a la notación de sumatoria

f(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{N}\cfrac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^{n}

Ejemplo

Como ejemplo muy común podemos ver lo que sucede con la función seno para este procedimiento, cuando x=0

  • sen(0)=0
  • sen'(0)=cos(0)=1
  • sen”(0)=-sen(0)=0
  • sen”'(0)=-cos(0)=-1

Repitiendo el proceso vuelven a resultar consecutivamente los valores 1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0, 1,… ; se anulan las derivadas pares, y las impares tienen signos alternados de la unidad, por tanto


REFERENCIAS

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3 respuestas a Series de Taylor

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