Errores cometidos en las series de Taylor

Habíamos visto que podemos aproximar ciertas funciones (por lo general funciones trascendentes) mediante el uso del polinomio de Taylor, donde la función f debe satisfacer lo siguiente:

  • Debe ser diferenciable en algún intervalo I;
  • La función debe poseer al menos un punto c\in I donde f(c)=0

Por ejemplo, para la función seno y coseno puede evaluarse cada derivada en x=0, ya que sen^{(2k)}(0)=0 y cos^{(2k+1)}(0)=0. Sin embargo, para la función logaritmo natural no cumple en x=0 pues ni siquiera está definida en cero, pero sí cumple en x=1.

Lo que queremos lograr es hallar un polinomio P definido en puntos iguales por la función f, es decir que f(x)=P(x).

Tomemos como ejemplo nuevamente la función seno. Si necesitamos hallar un ángulo sin el uso de la calculadora científica, lo podemos hacer en un procedimiento de pasos finitos. Hallemos el seno del ángulo \theta=\frac{\pi}{4} por serie de Taylor en digamos tres sumandos:

\displaystyle sen\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg)\simeq\sum_{i=0}^2 \frac{(-1)^{i}}{(2i+1)!}\bigg(\frac{\pi}{4}\bigg)^{2i+1}=0,707143045\cdots

Que es bastante aproximado al valor real de la función sen(\frac{\pi}{4})=0,707106781\cdots

Teorema de Taylor

Sea f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} una función infinitamente diferenciable en un entorno de \alpha\in\mathbb{R}, el polinomio de Taylor de f centrado en \alpha es

\displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-\alpha)^k

Teorema. Sea f:[a,b]\to\mathbb{R} tal que es diferenciable sobre [a,x], los puntos del intervalo \alpha y x y la suma P(x) dada por la definición, entonces existe c entre \alpha y x tal que

f(x)=P(x)+\cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-\alpha)^n

Demostración

Sea

\displaystyle P(x)=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{f^{(k)}}{k!}(x-\alpha)^k

Si tomamos x=\alpha nos queda que P(\alpha)=f(\alpha). Además P^{(k)}(\alpha)=f^{(k)}(\alpha)

Consideremos ahora un punto x de \mathbb{R}. Tenemos la relación

M=\cfrac{f(x)-P(x)}{(x-\alpha)^n}

luego f(x)=P(x)+M(x-\alpha)^n

Consideremos la función g(t) dada por la diferencia

g(t)=f(t)-P(t)-M(t-\alpha)^n

Derivando

g'(t)=f'(t)-P'(t)-nM(t-\alpha)^{n-1}

Como P'(\alpha)=f'(\alpha) obtenemos que g'(\alpha)=0. Si derivamos k-ésimas veces obtenemos

g^{(k)}(t)=f^{(k)}(t)-P^{(k)}(t)-n(n-1)\cdots(n-k+1)M(t-\alpha)^{n-k}

Además g(\alpha)=g'(\alpha)=\cdots=g^{(n-1)}=0

Por el teorema de Rolle, existe x_0 entre los valores x, \alpha tal que g'(x_0)=0. Existe x_1 entre x_0, \alpha tal que g''(x_1)=0. Por tanto, g^{(n)}(x_{n-1})=0, donde x_{n-2}\leq x_{n-1} \leq \alpha. Y también x_{n-1} está contenida entre \alpha y x.

Para la desigualdad a<t<b tenemos

P^{(n)}(t)=0

por lo tanto

g^{(n)}(t)=f^{(n)}(t)-n!M=0

Tomemos c=x_{n-1}

Luego

f^{(n)}(c)-n!=0

De donde

M = \cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}

Por lo que obtenemos

\cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}=\cfrac{f(x)-P(x)}{(x-\alpha)^n}

que al despejar tenemos que

f(x)=P(x)+\cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-\alpha)^n

\Box

Con esto, es válido la suma de Taylor para aproximar la función a un polinomio, y vemos finalmente que el error de la suma es

E_n(f)=\cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-\alpha)^n\qquad{c\in(a,b)}

Si existe una constante real positiva M tal que |f^{(n)}(x_0)|\leq M, \, \forall x_0 \in [a, x], entonces el error del polinomio de Taylor está acotado por

|E_n(f)|=\bigg|\cfrac{f^{(n)}(c)}{n!}(x-\alpha)^n\bigg| \leq M \cfrac{|x-\alpha|^n}{n!}

FUENTE:

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