Sumas de Riemann

Desde la era de los antiguos egipcios, griegos, chinos e indios el problema de encontrar el área para cualquier figura ha sido todo un reto para los matemáticos.

No fue hasta el siglo XVI que empezaron los adelantos significativos sobre el método de exhausción.

En el siglo XVII con la formulación del teorema fundamental del cálculo, se mejoró el estudio realizado de manera independiente por parte de Newton y Leibniz. El teorema demuestra una conexión entre la integración y la derivación. El cálculo adquirió una posición más firme con el desarrollo de los límites y, en la primera mitad del siglo XIX, recibió una fundamentación adecuada por parte de Cauchy. La integración fue rigurosamente formalizada por primera vez por Bernard Riemann, empleando límites.

No solo puede valerse la integral para el cálculo de área, sino también de volumen, longitud, estudio de sumas, entre otros.

Definición axiomática de área

Al asignar un área en una región plana, se asocia un número a un cierto conjunto S al plano, es decir se tiene una función área que se asigna un número real. Tales conjuntos del plano que puede asignar áreas se conocen como conjuntos medibles. Designaremos al área de una región S como a(S).

Supongamos que existe una clase \mathcal{M} de conjuntos del plano medible y una función de conjunto a, cuyo dominio es \mathcal{M} con las siguientes propiedades

  1. Propiedad de no negatividad. Para un conjunto S(\mathcal{M}), se tiene que a(S)\geq 0
  2. Propiedad aditiva. Si S, T\in\mathcal{M} su unión menos su intersección también pertenece a \mathcal{M}. Esto es a(S\cup T)=a(S)+a(T)-a(S\cap T)
  3. Propiedad de diferencia. Si S, T\in\mathcal{M}, donde S\subseteq T, entonces T-S\in\mathcal{M} y se tiene que a(T-S)=a(T)-a(S).
  4. Invariancia por congruencia. Si un conjunto S\in\mathcal{M} y T es congruente a S, entonces T\in\mathcal{M} y además a(S)=a(T)
  5. Elección de escala. Para todo rectángulo R\in\mathcal{M}, si los lados de R tienen longitudes h y k, entonces a(R)=h\cdot k
  6. Propiedad de exhaución. Sea Q un conjunto que pueda encerrarse entre dos regiones S y T, esto es S\subseteq Q\subseteq T, entonces existe un número c que satisfaga las desigualdades a(S)\leq c \leq a(T), por tanto a(Q)=c

Definición de las sumas de Riemann

Sea f:[a,b]\to\mathbb{R} una función acotada en el intervalo cerrado [a, b]. La partición de dicho intervalo está conformado por la misma longitud del intervalo [a,b], pero separado en varios subintervalos, conformado por el conjunto P = \{x_0, x_1, \cdots, x_n\} tales que

a=x_0<x_1<\cdots<x_{n-1}<x_n=b.

Se llama familia de puntos intermedios a cualesquiera de los conjuntos T=\{c_1, c_2, \cdots, c_n\} formado por los puntos c_k\in[x_{k-1},x_k], para k=1, \cdots, n.

Si \Delta x_k=x_k-x_{k-1} es la anchura del k-ésimo subintervalo [x_{k-1}, x_k], entonces la norma de la partición la definimos por el máximo valor de los intervalos, es decir

\displaystyle ||P|| = \max_{1\leq k \leq n}\{\Delta x_1, \Delta x_2, \cdots, \Delta x_n\}

Dado c_k como un punto cualquiera del k-ésimo subintervalo, esto es x_{k-1}<c_k<x_k, entonces la suma

S(f,P)=\displaystyle\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k

se llama suma de Riemann de f(x), relativa a la partición P y a la familia de puntos T.

¿Qué fue lo que aportó Riemann a las integrales? Fue aplicar el límite a la suma, cuando la longitud máxima de la partición tiende a cero. Esto es, considerar una partición cada vez más refinada en [a, b], por tanto tener en cuenta que los puntos del intervalo tiendan a infinito.

Como interpretación gráfica observamos en la figura que cada rectángulo posee área a(S_k)=f(c_k)(c_{k}-c_{k-1}), y que los subintervalos se vuelven cada vez más pequeños y numerosos, por tanto el área se vuelve cada vez más exacta.

Por tanto, podemos expresar la integral de la función definida en [a, b] como

\displaystyle\int_a^b f(x)dx=\lim_{n\to\infty}\sum^n_{k=1}f(c_k)\Delta x_k

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