La infinitud de los números primos

Como muchos ya lo saben, el conjunto de los números naturales se define por expansión como \mathbb{N}=\{1,2,3,4, \cdots, n,\cdots\}, y considerando n>1 puede ser divida en:

  • Números primos: Todos los números que poseen exactamente dos divisores (el 1 y el mismo número).
  • Números compuestos: Aquellos números que no son primos.

Este hecho importante en teoría de números, nos permite observar a los números primos como la base de los números naturales. El nombre de número primo o primer número fue atribuido en la antigua Grecia por Nicómano, y también por Jámblico. Euclides fue el primer matemático en definir la existencia de infinitos números primos, y fue así como demostró el siguiente

Teorema. Existen infinitos números primos.

Demostración. Supongamos que existe simplemente una cantidad finita de números primos p=\{p_1,\;p_2,\;\cdots,\;p_n\}. Considérese el producto de tales números sumado 1, y vemos por definición de número natural que Q=P+1=p_1 p_2 \cdots p_n+1>1. Aquí tenemos un número entero, que puede ser primo o compuesto. Por el Teorema Fundamental de la Aritmética Q debe tener al menos un factor primo ya que es un entero mayor que 1, el cual debe ser necesariamente un factor de P y de Q-P=1. Esto es un absurdo, ya que contradice el hecho de que P>1, y como se puede repetir el proceso cuantas veces se quiera (el conjunto de los números naturales no está acotado) entonces la colección de los números primos es infinita.\blacksquare

Tuvieron que transcurrir unos dos mil años para que en 1737 Leonhard Euler descubriera otro método para demostrar la infinitud de los números primos, y como se era de esperar, una brillante idea de permitirle la divergencia de la suma los recíprocos de los números primos, que abrió camino a uno de los problemas matemáticos más espectaculares de nuestra era: la Hipótesis de Riemann.

En aquel entonces, Euler se interesó en evaluar la serie

\zeta (k)=1+\cfrac{1}{2^k}+\cfrac{1}{3^k}+\cfrac{1}{4^k}+\cdots+\cfrac{1}{n^k}

para k\in\mathbb{N}, \; k>1.

 Recordemos que la fórmula para esta serie es \sum_{n=0}^{\infty}x^n=\frac{1}{1-x}, \; \forall |x|<1. Considerando |\frac{1}{p}|<1, donde p es un número primo, entonces en virtud de la fórmula anterior nos queda

\zeta(s)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{p^{ns}}=\cfrac{1}{1-\frac{1}{p^{s}}}\qquad{(1)}

si s>1.

Euler lo definió para todos los números primos, demostrada en 1737 y publicada en 1744, muestra una forma original de obtener el producto, utilizando una cierta forma de cribado, y para ello se valió del siguiente procedimiento:

Considerar primeramente la serie

\zeta (s)=1+\cfrac{1}{2^s}+\cfrac{1}{3^s}+\cfrac{1}{4^s}+\cfrac{1}{5^s}+\cdots\qquad{(2)}

Luego multiplicar (2) miembro a miembro por \cfrac{1}{2^s}  

\cfrac{1}{2^s}\zeta (s)=\cfrac{1}{2^s}+\cfrac{1}{4^s}+\cfrac{1}{6^s}+\cfrac{1}{8^s}+\cdots\qquad{(3)}

Ahora se restan los valores de (2) con (3), es decir, eliminaremos los inversos de los múltiplos de dos

 \bigg(1-\cfrac{1}{2^s}\bigg)\zeta (s)=1+\cfrac{1}{3^s}+\cfrac{1}{5^s}+\cfrac{1}{7^s}+\cdots\qquad{(4)}

Multiplicamos la serie (4), ahora con \cfrac{1}{3^s}

\cfrac{1}{3^s}\zeta (s)=\cfrac{1}{3^s}+\cfrac{1}{9^s}+\cfrac{1}{15^s}+\cdots\qquad{(5)}

Restamos los inversos de los múltiplos de tres en la serie (4), por tanto nos queda

 \bigg(1-\cfrac{1}{3^s}\bigg)\bigg(1-\cfrac{1}{2^s}\bigg)\zeta (s)=1+\cfrac{1}{5^s}+\cfrac{1}{7^s}+\cfrac{1}{11^s}\cdots\qquad{(6)}

Se repite esta secuencia indefinidamente, para lo cual eliminamos todos los múltiplos existentes, es decir todos los números primos (excepto claro la unidad), por tanto tendremos el producto

 \cdots\bigg(1-\cfrac{1}{7^s}\bigg)\bigg(1-\cfrac{1}{5^s}\bigg)\bigg(1-\cfrac{1}{3^s}\bigg)\bigg(1-\cfrac{1}{2^s}\bigg)\zeta (s)=1\qquad{(7)}

Y despejamos lo que estamos buscando \zeta(s), por lo que finalmente la función zeta se define como

 \zeta (s)=\cfrac{1}{\bigg(1-\cfrac{1}{3^s}\bigg)\bigg(1-\cfrac{1}{2^s}\bigg)\bigg(1-\cfrac{1}{5^s}\bigg)\bigg(1-\cfrac{1}{7^s}\bigg)\bigg(1-\cfrac{1}{11^s}\bigg)\cdots}

\zeta(s)=\displaystyle\prod_p\cfrac{1}{1-\frac{1}{p^s}}\qquad{(8)}

Donde podemos ver la relación que existe entre (2) y (8)

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n^s}=\displaystyle\prod_p\cfrac{1}{1-\frac{1}{p^s}} \ \ \ \ \ (9)

donde p, representa a todos los números primos.

Demostración de la infinitud de los números primos a partir del producto de Euler

Partimos de la igualdad dada en (9) y aplicamos logaritmo natural miembro a miembro (haciendo s=1)

ln\bigg(\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n}\bigg)=ln\bigg(\displaystyle\prod_p\cfrac{1}{1-\frac{1}{p}}\bigg)\qquad{(10)}

Conociendo la propiedad del producto del argumento de los logaritmos ln(a.b…n)=ln(a)+ln(b)+…+ln(n), podemos escribirla como suma de logaritmos de distintos argumentos, donde el producto de (10) lo reescribimos como

ln\bigg(\displaystyle\prod_p\cfrac{1}{1-\frac{1}{p}}\bigg)=\displaystyle\sum_pln\bigg({1-\frac{1}{p}}\bigg)^{-1}=-\displaystyle\sum_pln\bigg({1-\frac{1}{p}}\bigg)

Pero, la última expresión -ln(1-\frac{1}{p}) puede ser reemplazada por expansión en series de potencias de Taylor. Como |-\frac{1}{p}|<1, podemos reemplazar x=-\frac{1}{p} en

ln(1+x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{(-1)^{n+1}}{n}x^n

\displaystyle\sum_p-ln\big(1-\frac{1}{p}\big)=\displaystyle\sum_p\big(\cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{2p^2}+\cfrac{1}{3p^3}+\cdots\big)=\Big(\sum_p\cfrac{1}{p}\Big)+\sum_p\cfrac{1}{p^2}\Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{4p^2}+\frac{1}{5p^3}+\cdots\Big)

Y establecemos la desigualdad

\displaystyle\Big(\sum_p\cfrac{1}{p}\Big)+\sum_p\cfrac{1}{p^2}\Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\frac{1}{4p^2}+\frac{1}{5p^3}+\cdots\Big)<\Big(\sum_p\cfrac{1}{p}\Big)+\sum_p\cfrac{1}{p^2}\Big(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots\Big)

Luego reemplazamos la serie 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^3}+\cdots por su fórmula \cfrac{1}{1-\frac{1}{p}}, y obtenemos que

\displaystyle\sum_p-ln\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg)<\sum_p\cfrac{1}{p}+\sum_p\cfrac{1}{p^2}\bigg(\cfrac{1}{1-\frac{1}{p}}\bigg)

\displaystyle\sum_p-ln\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg)<\sum_p\cfrac{1}{p}+\sum_p\cfrac{1}{p(p-1)}

\displaystyle\sum_p-ln\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg)<\sum_p\bigg(\cfrac{1}{p}+\cfrac{1}{p(p-1)}\bigg)

\displaystyle\sum_p-ln\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg)<\sum_p\bigg(\cfrac{1}{p}\big(1+\cfrac{1}{p-1}\big)\bigg)

\displaystyle\sum_p-ln\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg)<\sum_p\cfrac{1}{p-1}

Y hemos llegado a la relación entre la última desigualdad con la obtenida en (10) por lo que

\displaystyle\sum_p-ln\bigg(1-\frac{1}{p}\bigg)=\displaystyle ln\bigg(\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n}\bigg)<\sum_p\cfrac{1}{p-1}\qquad{(11)}

Ahora, consideremos cualquier número primo, como sabemos que se cumple p-1<p, entonces también la relación \cfrac{1}{p}<\cfrac{1}{p-1}, por tanto de la desigualdad (11) se deduce que

\displaystyle ln\bigg(\sum_{n=1}^{\infty}\cfrac{1}{n}\bigg)<\sum_p\cfrac{1}{p-1}<\sum_p\cfrac{1}{p}

Como sabemos, la suma infinita de los recíprocos de los números naturales diverge, por tanto su logaritmo natural también será divergente, y como sabemos tal hecho, vemos que ¡la suma de los inversos de los números primos es mayor que el logaritmo de la suma de los inversos de los números naturales! Además, al inicio afirmamos que existen infinitos números naturales, y si la suma de los recíprocos de los números primos diverge entonces esto implica que existen infinitos números primos.


NOTA: En varios de los procedimientos observamos que la suma \sum_p\frac{1}{1-p^{-1}} o producto \prod_p\frac{1}{1-p^{-1}} aparece solo el subíndice p, pero no hay superíndice (como la de los recíprocos de los números naturales); esto se debe a que es justamente eso lo que buscamos, si el conjunto de los números primos está acotado.


REFERENCIA: OSCAR FERNÁNDEZ, JOSÉ GONZÁLEZ, CARLOS ESCOBAR. Euler, números primos y la función zeta. Departamento de Matemáticas, Universidad Tecnológica de Pereira, Colombia.

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