Nicolás Bourbaki y el tratado de las matemáticas modernas

Entre los años 1870 y 1930 las matemáticas constituían un gran avance con los axiomas de Zermelo-Fraenkel, el conjunto de Cantor, los resultados de la topología, el álgebra no conmutativo, álgebras de Lie, entre otros; sin embargo el estudiante e incluso el matemático tenía confusiones a la hora de comprender el nuevo surgimiento y hasta para entender los más antiguos, y donde no existía algún libro inteligible para profundizar el estudio.

No obstante, surgió un matemático para apartarlo todo y realizar un esquema organizativo de las nuevas ideas, se escribieron una serie de libros bajo el nombre de Nicolas Bourbaki, se trata de un matemático poldavo… Bien, en realidad Bourbaki no es un matemático, sino un grupo colectivo de grandes matemáticos (en su mayoría franceses) bajo este seudónimo.

¿A qué se debe entonces esta falsa creación? Antes de ser una convención ultra secreta se trata más bien de algo jocoso con fines bien argumentados.

El origen

A mediados de 1930, algunos jóvenes brillantes antiguos alumnos de L’École Normale Superieur de París, sentían alguna frustración y protesta por la situación de las matemáticas en Francia al ir cayéndose tras la Primera Guerra Mundial. La ciencia francesa estaba dominada por dos o tres académicos preocupados más por sus parcelas de poder que por la investigación científica. Por esto los fundadores del grupo Bourbaki querían recuperar el nivel sosegado de la matemática francesa.

Uno de los miembros fundadores, André Weil, cuenta que al regreso de sus vacaciones de verano de 1934 coincidió con la de su colega y amigo Henri Cartan, quienes estaban encargados del curso sobre Cálculo. En las universidades se utilizaba normalmente el libro de Goursat, que carecía de desarrollo de temas y que encontraban insatisfactorio. Aquí Weil dijo a Cartan “reunámonos y arreglemos esto de una vez por todas”.

Weil y Cartan se pusieron en contacto con sus compañeros Jean Dieudonné, Claude Chevalley, Jean Delsarte, entre otros, y se reunieron para redactar un curso o tratado de análisis para reemplazar al de Goursat y sirva de base para la enseñanza terciaria. Se fijaron los títulos de los capítulos, se encargaron de informes sobre gran número de temas, y pronto se dieron cuenta que una reunión no era suficiente para la discusión con la amplitud que necesitaban. Así, en julio de 1935 tuvieron su primer Congreso en la Universidad de Clermont.

La razón del nombre “Nicolas Bourbaki”

Se atribuye la elección del nombre a la memoria del general francés de origen griego, Charles Denis Sautier Bourbaki, quien halla participado en la guerra franco-prusiana y donde sufrió una derrota humillante siendo prisionero, pero llegó a vivir hasta los 83 años. Sin embargo, cuenta André Weil en su autobiografía, que la elección del General Charles Bourbaki para representar al matemático que contribuya a la escritura de estos volúmenes tiene un origen tanto peculiar como divertida. Cuando Delsarte, Cartan y Weil, eran estudiantes en primer año fueron convocados para asistir en una conferencia que iba a dictar un profesor de nombre Raoul Husson (estudiante de último año) disfrazado con una barba patriarcal, quien, con acento extraño, desarrolló una muestra de trabalenguas que terminó con un teorema de Bourbaki dejando atónitos a todo el auditorio.

Estando en la India (1930-1932) Weil sugirió a su amigo y colega D. Kosambi que escribiera un artículo bajo el nombre de Bourbaki, titulado Sobre la generalización del segundo teorema de Bourbaki, que consiguió publicar en el “Bulletin of the Academy of Sciences of the provinces of Agra and Oulh Allahabad”. Kosambi atribuyó el teorema al “casi desconocido matemático ruso D. Bourbaki, a quien envenenaron durante la revolución”.

El problema de elegir un nombre se había hecho urgente a finales de 1935, cuando se decidió establecer de manera irrefutable la existencia de Bourbaki con la inmediata publicación de una nota en los Comptes Rendus de la Academia de Ciencias. Para la seriedad del trabajo, necesitaban el nombre completo y una pequeña biografía. Finalmente lo llamaron Nicolas Bourbaki (la responsable del nombre fue Eveline de Possel, entonces esposa de René Possel y futura esposa de André Weil), al que se atribuía el origen de “polvado”. Cabe destacar que el país Poldavia ni siquiera existía, era simplemente su patria imaginaria para un matemático imaginario. Poldavia también nació entre las bromas de los estudiantes.

Como puntualiza J. Dieudonné, se decidió elaborar un tratado que contuviera, de forma clara, precisa y sistemática, los teoremas y resultados básicos para todas las teorías existentes en matemática pura. Aparentemente, no se trató nunca la posibilidad de incluir la matemática aplicada.

A lo largo de estos dos congresos se fijó el método de trabajo. Una vez elegido un tema, sobre la base de un informe preliminar y tras su discusión en el Congreso, se designaba a uno de los miembros para realizar una primera redacción, que se enviaría a los demás.. En el siguiente Congreso, esta redacción sería discutida y criticada sin piedad y sufriría profundas modificaciones o incluso, en algunos casos, sería rechazada en su totalidad. Con las conclusiones obtenidas, se encargaba una segunda redacción, posiblemente a un miembro diferente, y el proceso se repetía hasta alcanzar la unanimidad.

Respecto a la evolución futura del grupo, se fijó una edad límite de permanencia,
a partir de la cual se dejaría de pertenecer al grupo: los 50 años. En cuanto a
la elección de nuevos miembros, se realizaría entre los matemáticos invitados a los
congresos (“cobayas”), en función de sus cualidades personales y matemáticas.

La obra del grupo Bourbaki

No cabe duda que la obra fundamental de Bourbaki, que motivó su existencia como grupo, es su aún inconcluso tratado Eléments de Mathématique (aludiendo al Elementos de Euclides, que tuvo una basta influencia en las matemáticas).

Para entender mejor la posición de Bourbaki, quizá convenga analizar con un poco más de detalle la situación con la que se encontró el grupo alrededor de 1930. En efecto, la matemática había crecido desmesuradamente en el periodo 1870-1930, con la aparición de nuevas y potentes teorías en casi todas sus ramas. Aunque en muchas de esas teorías se habían escrito excelentes monografías, era evidente la falta de referencias adecuadas para los prerrequisitos comunes a muchas de ellas, o las nociones y técnicas necesarias, que se habían originado propiamente en otras teorías.

Bourbaki se declara a favor del método axiomático, sin confundirlo con el formalismo lógico.

La evolución en la organización de las matemáticas fue mayor cuando Bourbaki distinguió tres tipos básicos de estructuras fundamentales, a saber: las estructuras algebraicas, las de orden y las topológicas. A partir de esta estructura pueden llegar a crearse estructuras compuestas por una o más estructuras fundamentales sobre un mismo conjunto.

Mediante todo esto, también fue válida la idea de Cantor al someter una nueva teoría importante para las matemáticas, que fue cuestionada por Russell: la teoría de conjuntos.

Entre las obras publicadas se encuentran: 

  • Teoría de conjuntos
  • Álgebra
  • Topología
  • Funciones de una variable real
  • Espacios vectoriales topológicos
  • Integración
  • Álgebra conmutativa
  • Teoría de Lie
  • Teoría Espectral

Si bien varios de los libros de Bourbaki se han convertido en referencias estándar en sus campos, algunos han considerado que la presentación austera hace inadecuados como los libros de texto.

Podemos sostener que sin el grupo Bourbaki las matemáticas del siglo XX serían completamente diferentes de lo que son ahora.


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