Categoría: Desafíos

Cuánto vale la k-ésima derivada

Si f(x)=x^{-n}\;\forall n\in\mathbb{N} es derivable. Probar que la k-ésima derivada de la función es

f^{(k)}(x)=(-1)^k\cfrac{(n+k-1)!}{(k-1)!}x^{-n-k}

f^{(k)}(x)=(-1)^kn!\displaystyle\binom{n+k-1}{k-1}x^{-n-k},

para x\ne 0.

Primer Desafío – Primer problema de la IMO 2014

Iniciando el año y el segmento de Desafíos, vamos por el primer problema de la IMO 2014 (Olimpiada Internacional de Matemáticas, por sus siglas en inglés)  disputados en Sudáfrica:

Problema 1. Sea a_0<a_1<...<a_k una sucesión infinita de números enteros positivos. Demostrar que existe un único entero n\geq 1 tal que

a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}\leq a_{n+1}