Números surreales

En el principio todo estaba vacío, y J. H. W. H. Conway empezó a crear números, Conway dijo: «Sean dos reglas que originen todos los números, grandes y pequeños. Ésta será la primera regla: cada número se corresponde a dos conjuntos de números preexistentes tales que ningún elemento del conjunto izquierdo es mayor o igual que algún elemento del conjunto derecho. Y la segunda regla será: Un número es menor o igual que otro si y sólo si ningún elemento del conjunto izquierdo del primer número es mayor o igual que el segundo número y ningún elemento del conjunto derecho del segundo número es menor o igual que el primero». Y Conway examinó estas dos reglas que había creado y ¡mira!, eran buenas.

Y el primer número fue creado mediante un conjunto izquierdo vacío y el conjunto derecho vacío. Conway llamó a este número «cero». Y dijo: «será la frontera que separe los números positivos de los negativos». Conway probó que cero era menor o igual que cero y vio que estaba bien. Y la tarde y la mañana fueron el día cero.

Al siguiente día, dos números fueron creados, uno con cero como conjunto izquierdo y el otro como cero como conjunto derecho. Y Conway llamó a la primera «uno», y a la siguiente llamó «menos uno». Y probó que menos uno es menor pero no igual a cero y cero es menor pero no igual que uno. Y la tarde…

Este es un fragmento del libro Surreal numbers de Donald E. Knuth, donde explica de forma curiosa y didáctica el concepto de números surreales creada en 1970 por el reciente fallecido matemático británico John Conway.

Los números surreales tiene una aparición importante para clasificar a los números ordenados -claramente no podemos incluir a los números complejos-, considerando a los transfinitos que son mayores que $\aleph_1=\omega$ , ordinal de la recta real, y a los que son mayores a cero y menores que $1/\omega$ . Este concepto de números surreales es más limpia y general que otros sistemas de números, de ahí su importancia.

Tal como se definió en el texto anterior, considerando dos conjuntos surreales $L$ y $R$ (izquierda y derecha) tales que $\forall x\in L(\forall y\in R:y\not\leq x)$ .

Una definición alternativa es usar la siguiente definición:

$x\le y\Longleftrightarrow \neg\exists x_L\in L:y\le x_L\wedge \neg\exists y_R\in R:x_R\le x.$

Para iniciar consideraremos los conjuntos vacíos. Y como relataba Knuth, tomemos el primer número surreal que es el cero de la siguiente forma $0\equiv \{\varnothing|\varnothing\}=\{\}$ . Veremos si cero es menor o igual que cero, de manera que se debe verificar

$0\le 0\Longleftrightarrow \neg\exists x_L\in \varnothing:0\le x_L\wedge \neg\exists y_R\in \varnothing:x_R\le 0.$

Esto es cierto, debido que por definición no existe elemento alguno en $\varnothing$ . De manera que $0\le 0$ .

De esta forma iremos construyendo los números surreales, y ahora que ya tenemos el número cero, podemos obtener con cero y vacío los siguientes $\{|0\},\{0|\}$ y $\{0|0\}$ . Como hemos mostrado $0\le 0$ , por lo que $\{0|0\}$ no es un número surreal. Veremos que se establece el orden entre los otros números:

$\{|\}\le \{0|\}$ : Ya que $\neg\exists x_L\in\varnothing: \{0|\}\le x_L\wedge \neg\exists y_R\in \varnothing:x_R\le 0.$ . De hecho $\{0|\}=1$ . Análogamente se muestra que $\{|0\}\le\{|\}$ , y además $\{|0\}=-1$ .

El conjunto de números surreales $\mathbb S$ es un campo totalmente ordenado no arquimediano. Y teniendo en cuenta que podemos definir a los enteros como $0\in\mathbb Z$ , $n\in\mathbb Z\leftarrow\{n| \ \}\in\mathbb Z$ y $n\in\mathbb Z\leftarrow\{ \ | n \}\in \mathbb Z$ , donde el nuevo número surreal tiene como ordinal $\omega$ , que es el menor número mayor que los naturales. De manera que en este campo se tienen los siguientes números surreales:

$\omega-1=\{\mathbb Z|\omega\}$ , $\omega+1=\{\omega| \ \}$ , $\omega+2=\{\omega+1| \ \}$ , $\omega-2=\{\mathbb Z|\omega-1\}$ , procediendo de forma indefinida, $\omega+\omega=\{\omega+\mathbb Z| \ \}$ . A partir de aquí se obtienen los siguientes números surreales:

$2\omega=\{\omega+\mathbb Z| \ \}$

$3\omega=\{2\omega+\mathbb Z| \ \}$

$\omega^2=\{\omega,2\omega,3\omega,\cdots| \ \}$

$\omega^{\omega}=\{\omega,\omega^2,\omega^3,\cdots\}$

$\cfrac{\omega}{2}=\{\mathbb Z|\omega-\mathbb Z\}$

$\sqrt{\omega}=\{\mathbb Z|\omega,\frac{\omega}{2},\frac{\omega}{3},\cdots\}$

Esto en el caso de los números muy grandes. Ahora para los números muy pequeños tenemos los infinitesimales, así que consideraremos el número surreal $\epsilon=\{0|1,\frac{1}{2},\frac{1}{2^2},\frac{1}{2^3},\cdots\}$ , y es mayor que cero y menor que toda fracción $a/b, \text{ con } a,b\in\mathbb N$ . Resulta ser que $\epsilon=\frac{1}{\omega}$ . Con esto: