Dimensión fractal

Aunque actualmente no se dispone de una definición rigurosa de lo que es un fractal [término acuñado por Benoît Mandelbrot en 1975], podemos afirmar que se trata de un objeto geométrico cuya característica irregular está basada en la autosimilitud. Los fractales no pueden ser descritos en una geometría convencional, por esta razón está aislada de términos geométricos que formalmente conocemos.


Tal vez lo más llamativo de los fractales es que su dimensión no es un número natural, sino que un número real.

Construyamos una de las dimensiones:

En una recta r podemos considerar un segmento s de longitud 1 y cantidad de cortes l; es claro que l=\cfrac{1}{1/l}, y está dividido en 1/l partes iguales. Si extendemos este hecho a un plano \pi, consideramos el cuadrado \ A_1\times A_2 \subset \mathbb{R}\times\mathbb{R} donde A_1, \ A_2 son segmentos de rectas de igual longitud. Ahora nos queda un cuadrado de área l\cdot l=l^2=\bigg(\cfrac{1}{1/l}\bigg)^2, dividido también en 1/l partes iguales.

En general, si \{A_1, \cdots, A_d\} es una familia de segmentos, entonces el producto cartesiano A_1 \times \cdots \times A_d con \|A_1\|= \cdots= \|A_d\| corresponde a un cuadrado, cubo, hipercubo, etc.; y la medida (área, volumen, etc.) es

\mathfrak{m}(l)= l^d

donde la dimensión del espacio es d.

Como un cubo, hipercubo, etc. pertenecen a la geometría convencional no podemos considerar la construcción del fractal como d partes iguales a la d-ésima dimensión.

Si queremos cortar una figura geométrica en partes iguales mayores que la misma dimensión, digamos p>d, entonces sí podemos adentrarnos a una geometría fractal. Ahora bien, por la autosimilitud la suma de las medidas debe ser

\displaystyle\sum \bigg(\cfrac{1}{l}\bigg)^d=p\bigg(\cfrac{1}{l}\bigg)^d=1

quedando de la forma

p=l^d

aplicando logaritmo

\log(p)=d\log(n)

Finalmente la dimensión fractal es de d=\cfrac{\log(p)}{\log(n)}.

Resultado de imagen para alfombra de sierpinski gifPor ejemplo si consideramos la alfombra de Sierpinski, observamos primero un cuadrado cortado en 3^2=9 cuadrados y le quitamos uno, así nos queda 8. Reiteramos el proceso con los demás y tenemos 3^3-1 y le quitamos otros 8. Entonces lo que tenemos es que existe algún d\in\mathbb R tal que 8=3^d o equivalentemente d=\frac{\log(8)}{\log(3)}\approx 1,8927\dots

También pueden representarse de formas distintas.

La construcción de la curva de Koch es sencilla: dividir un segmento en tres partes iguales, construir un triángulo equilátero en el medio y quitar la base del triángulo; repetir indefinidamente el proceso. Cada triángulo aumenta 3^d veces. Por tanto su dimensión fractal es d=\frac{\log(4)}{\log(3)}\approx 1,26.

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