Propiedades de las transformaciones diferenciales

Sea f una función de una variable, f:(a,b)\to\mathbb R. Decimos que f es diferenciable en x_0\in(a,b) si existe el límite

f'(x_0)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}

O equivalentemente, si pasamos f'(x_0) al otro miembro y sustituimos h\to 0 por x\to x_0 (esto es h\approx x-x_0), se tiene

\displaystyle\lim_{x\to x_0}\cfrac{f(x)-f(x_0)-f'(x_0)(x-x_0)}{x-x_0}=0

Notemos que f'(x_0)=m es un número (en efecto, es la pendiente de la recta tangente a la curva en x_0).

Una analogía de esta definición puede generalizarse para funciones en varias variables. Para no complicar la notación usaremos \textbf x=(x_1,\cdots,x_n), \ x_i\in\mathbb R, para indicar un vector de \mathbb R^n.

Definición: Una transformación f:D\subset \mathbb R^n\to \mathbb R^m es diferenciable en \textbf x_0 \in D si existe una transformación lineal, \textbf D f(\textbf x_0):\mathbb R^n\to \mathbb R^m, tal que

\displaystyle\lim_{\textbf x\to \textbf x_0}\cfrac{\|f(\textbf x)-f(\textbf x_0)-\textbf D f(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0)\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|}=0

Como hacemos tender el límite a un valor tal que nos aproxime tanto al cero, entonces podemos encontrar algún número, digamos \varepsilon, tan pequeño que no altere la proximidad a cero en algún entorno; como suponemos que existe límite, esto es posible. Redefiniendo: para cada \varepsilon>0 debe existir \delta>0 tal que \textbf x \in D y \|\textbf x-\textbf x_0\|<\delta implican que

\|f(\textbf x)-f(\textbf x_0)-\textbf D f(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0)\|\leq \varepsilon\|\textbf x-\textbf x_0\|

Pero como tenemos varias variables, no podemos encontrar la derivada total sin antes entender una derivada parcial.

Definición: La derivada parcial de una función f:D\subset\mathbb R^n\to\mathbb R^m de la variable x_i\in \textbf x, \ i=1,\cdots, n, con \textbf x=(x_1,\cdots,x_n)\in\mathbb R^n, se define por

\cfrac{\partial f(\textbf x)}{\partial x_i}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{f(x_1,\cdots,x_i+h,\cdots,x_n)-f(x_1,\cdots,x_n)}{h}

siempre que el límite exista.

La siguiente proposición es importante (pero no la demostraremos aquí).

Proposición: Sea D\subset\mathbb R^n un conjunto abierto y sea f:D\to\mathbb R^m diferenciable en D, entonces f es continua. En efecto, para cada \textbf x_0\in D existe un M>0 y un \delta>0 tales que \|\textbf x-\text x_0\| implique

\|f(\textbf x)-f(\textbf x_0)\|\leq M \|\textbf x-\textbf x_0\|

Esto último se conoce como propiedad local de Lipschitz.

A continuación veremos una generalización de la Regla de la Cadena, que se aplica en la composición de funciones; por ejemplo, para una variable \frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x); y la derivada parcial \frac{\partial f}{\partial t}(x(t),y(t))=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}.

Lema (Regla de la Cadena): Sean A\subset \mathbb R^n abierto y f:A\to\mathbb R^m diferenciable en \textbf x_0\in A. Sean B\subset \mathbb R^n abierto, f(A)\subset B y g:B\to\mathbb R^p diferenciable en f(\textbf x_0). Entonces, la composición de funciones g\circ f es diferenciable en \textbf x_0, y además 

\textbf D(g\circ f)(\textbf x_0)=\textbf D g(f(\textbf x_0))\circ \textbf D f(\textbf x_0)

Demostración: En otra notación, debemos probar que

\displaystyle\lim_{\textbf x\to \textbf x_0}\cfrac{\|g\circ f(\textbf x)-g\circ f(\textbf x_0)-\textbf Dg(f(\textbf x_0))\cdot \textbf Df(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0)\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|}=0

Aplicamos  la desigualdad triangular

\|g\circ f(\textbf x)-g\circ f(\textbf x_0)-\textbf Dg(f(\textbf x_0))\cdot \textbf Df(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0)\|\\ \begin{array}{llll} & & = & \|g(f(\textbf x))-g(f(\textbf x_0))-\textbf Dg(f(\textbf x_0))[f(\textbf x)-f(\textbf x_0)] \\ & & & +\textbf Dg(f(\textbf x_0))( f(\textbf x)-f(\textbf x_0)-\textbf Df(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0))\| \\ & &  \leq & \|g(f(\textbf x))-g(f(\textbf x_0))-\textbf Dg(f(\textbf x_0))[f(\textbf x)-f(\textbf x_0)]\| \\ & & & +\|\textbf Dg(f(\textbf x_0))( f(\textbf x)-f(\textbf x_0)-\textbf Df(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0))\| \end{array}

Como la función es diferenciable, existen \delta_1, M>0 tales que \|f(\textbf x)-f(\textbf x_0)\|\leq M\|\textbf x-\textbf x_0\| siempre que \|\textbf x-\text x_0\|<\delta_1, por la proposición anterior. Ahora, dado \varepsilon>0 existe \delta_2>0 (definición de diferenciabilidad en g) tal que \|\textbf y-f(\textbf x_0)\|<\delta_2 implica que

\|g(\textbf y)-g(f(\textbf x_0))-\textbf D g(f(\textbf x_0))[\textbf y-f(\textbf x_0)]\|<\frac{\varepsilon}{2M}\|\textbf y-f(\textbf x_0)\|

Con esto, \|\textbf x-\textbf x_0\|<\delta_3 implica que

\cfrac{\|g(f(\textbf x))-g(f(\textbf x_0))-\textbf Dg(f(\textbf x_0))[f(\textbf x)-f(\textbf x_0)]\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|}<\cfrac{\varepsilon}{2}

donde \delta_3=\min\{\delta_1,\delta_2\}. Ya tenemos la cota para el primer sumando de la desigualdad triangular.

Como \textbf Dg(f(\textbf x_0)) es una transformación lineal, entonces existe una constante N tal que \|\textbf Dg(f(\textbf x_0))y\|\leq N \|y\|, para todo y \in\mathbb R^m, N\neq 0. Por la definición de la diferencial, existe \delta_4>0 tal que \|\textbf x-\textbf x_0\|<\delta_4 implica

\cfrac{\|f(\textbf x)-f(\textbf x_0)-\textbf Df(\textbf x_0)[\textbf x-\textbf x_0]\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|}<\cfrac{\varepsilon}{2N}

Luego, \|\textbf x-\textbf x_0\|<\delta_4 implica que

\cfrac{\|\textbf Dg(f(\textbf x_0))[f(\textbf x)-f(\textbf x_0)-\textbf Df(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0)]\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|} \begin{array}{l} \leq \cfrac{N\|f(\textbf x)-f(\textbf x_0)-\textbf Df(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0)\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|}<\cfrac{\varepsilon}{2}\end{array}

Ahora bien, tomando \delta=\min\{\delta_3,\delta_4\}, tal que \|\textbf x-\textbf x_0\|<\delta implica

\cfrac{\|g\circ f(\textbf x)-g\circ f(\textbf x_0)-\textbf Dg(f(\textbf x_0))\cdot \textbf Df(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0)\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|}\\ \begin{array}{llll}  & &  \leq & \cfrac{\|g(f(\textbf x))-g(f(\textbf x_0))-\textbf Dg(f(\textbf x_0))[f(\textbf x)-f(\textbf x_0)]\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|} \\ & & & +\cfrac{\|\textbf Dg(f(\textbf x_0))( f(\textbf x)-f(\textbf x_0)-\textbf Df(\textbf x_0)(\textbf x-\textbf x_0))\|}{\|\textbf x-\textbf x_0\|} < \cfrac{\varepsilon}{2}+\cfrac{\varepsilon}{2}=\varepsilon \end{array}

Es decir, el límite existe, por tanto la expresión dada es diferenciable.

\blacksquare

Teorema (Simetría de las derivadas cruzadas): Sea f:A\to \mathbb R^m con segundas derivadas continuas en el conjunto abierto A. Entonces

\textbf D^2f(\textbf x)(x_1,x_2)=\textbf D^2f(\textbf x)(x_2,x_1),

o bien

\cfrac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}=\cfrac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}

Es decir, si la función es continua y derivamos con respecto a una variable y luego con la otra es igual si derivamos en distinto orden; esto funciona para cualquier orden de diferenciación. No se cumple la igualdad si en algún punto de la imagen hay discontinuidad.

Demostración: Como se derivan dos variables, todas las demás se mantendrán constantes, no perdemos generalidad si probamos el caso bidimensional. Supongamos que f es de clase C^2 en A\subset\mathbb R^2. Consideramos ahora solo las variables (x,y)\in A y los números h, k suficientemente pequeños, tal que

S_{h,h}=[f(x+h,y+k)-f(x+h,y)]-[f(x,y+k)-f(x,y)]

Definimos ahora la función g_k como g_k(x)=f(x,y+k)-f(u,y).

diferencia

En la imagen vemos que S_{h,k} se puede escribir como S_{h,k}=g_k(x+h)-g_k(x).

Por el teorema de valor medio, existe c_{h,k} entre x y x+h tal que S_{h,k}=g'_k(c_{h,k})\cdot h. Por lo tanto,

S_{h,k}=\bigg(\cfrac{\partial f}{\partial x}(c_{h,k},y+k)-\cfrac{\partial f}{\partial x}(c_{h,k}, y)\bigg)\cdot h=\cfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(c_{h,k}, d_{h,k})\cdot hk

para algún d_{h,k} entre y e y+k.

De forma análoga

S_{h,k}=\bigg(\cfrac{\partial f}{\partial y}(x+h,\tilde d_{h,k})-\cfrac{\partial f}{\partial x}(x,\tilde d_{h,k})\bigg)\cdot k=\cfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(\tilde c_{h,k}, \tilde d_{h,k})\cdot kh

de donde,

\displaystyle\lim_{(h,k)\to(0,0)}\cfrac{S_{h,k}}{hk}=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\cfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(c_{h,k}, d_{h,k})=\lim_{(h,k)\to(0,0)}\cfrac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(\tilde c_{h,k}, \tilde d_{h,k})

Lo cual es posible por la continuidad de \textbf D^2f.

\blacksquare


MARSDEN, JEROLD & HOFFMAN, MICHAEL. Análisis Clásico Elemental.

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