Divisores de un número factorial

¿Cómo saber cuántos divisores tiene un número factorial?, es más ¿cuánto es la suma de un número factorial? Recordemos que un número factorial es aquel número natural tal que está conformado por el producto desde uno hasta el número, es decir n!=1\cdot 2 \cdots (n-1) \cdot n.

Primero definamos una función aritmética multiplicativa, a una función f:\mathbb Z^+\to \mathbb C tal que para m,n\in\mathbb Z^+ donde mcd(m,n)=1, se cumple que

f(mn)=f(m)f(n)

Sea  n\in\mathbb Z^+, por el Teorema Fundamental de la Aritmética un entero positivo se puede descomponer en factores primos de manera única, salvo el orden, por tanto se puede representar cuanto sigue

n=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2}\cdots p_r^{\alpha_r}=\displaystyle\prod_{i=1}^{r}p_i^{\alpha_i}

Representamos d a los divisores de n, ya que éstos pueden ser primos o compuestos.

Algunas funciones aritméticas multiplicativas conocidas son las que siguen:

Suma de divisores

\sigma(n)=\displaystyle\sum_{d|n}d=\prod_{i=1}^r\frac{p_i^{\alpha_i+1}-1}{p_i-1}

Cantidad de divisores

\tau(n)=\displaystyle\sum_{d|n}1=\prod_{i=1}^r(\alpha_i+1)

Función de Möebius

\mu (n)= \left \{ \begin{array}{ll}  1 & \hbox{si n=1}\\  0 & \hbox{si } p^2|n \hbox{ con p primo}\\  (-1)^r & \hbox{si } n=p_1p_2\cdots p_r \hbox{ con } p_i \hbox{ distintos }  \end{array} \right.

 

Y la lista continúa. Una propiedad importante de las funciones multiplicativas es la siguiente

f\bigg(\prod_{i=1}^rp_i^{\alpha_i}\bigg)=\prod_{i=1}^rf(p_i^{\alpha_i})

Ahora vamos con lo que vinimos.

Podemos representar al factorial de un número como sigue n!=\displaystyle\prod_{i=1}^{n}i.

Vemos que los divisores de n! está conformado por el conjunto D_{n!}=\{1,2,3,\cdots, n-1, n, \cdots, (n-2)!, (n-1)!, n!\}. Es claro que, como el factorial de un número entero positivo está conformado por la multiplicación desde 1 hasta n, cada uno de estos números son divisores del factorial del entero; no obstante, faltarán divisores conformados por productos de dos de estos números como el 2\cdot 3 , \cdots, (n-1)n, los conformados por tres de estos números como el 2\cdot 3 \cdot 4; y se observan que sucede lo mismo para el producto de k de estos números, con 1\leq k \leq n. Sin embargo, representar estos divisores se torna tedioso al saber que no necesariamente todo entero comprendido en n<k\leq n! es divisor de n!; por ejemplo 4<7\leq 4!, pero 7 no divide a $latex 4! $.

Queremos encontrar divisores únicos de n!, aclaro esto ya que si encontramos una forma no debe admitir más de un divisor igual, como la que puede darse con 1\cdot 6 = 2\cdot 3 = 3 \cdot 2 = 6\cdot 1, hay cuatro formas distintas de representar a este número, pero sigue siendo el mismo divisor.

Si representamos \omega_k(n) a las posibles permutaciones del producto de los divisores de n!,  entonces vemos que si tomamos algún elemento de I=\{1, 2, \cdots n-1, n\}, se denota \omega_1^k(n) , \ k\in I, a las posibilidades de tomar un elemento de I . De la misma forma representamos a \omega_2^k(n) a las posibilidades de tomar dos elementos de I y multiplicarlas entre sí, sin embargo podemos notar que siempre existe algún j\in I, tal que \omega_1^k(n)=\omega_2^j(n). Por ejemplo, \omega_1^2(3)=2=\omega_2^1(3).

Para comprender mejor, conformemos la siguiente lista

\begin{array}{cc|l}  k & j & \omega_k^j(n) \\  \hline  1 & 1 & 1 \\  1 & 2 & 2 \\  1 & 3 & 3 \\  1 & \vdots & \vdots \\  1 & n & n \\  2 & 1 & 1\cdot 2 \\  2 & 2 & 1\cdot 3 \\  2 & \vdots & \vdots \\  2 & n-1 & 1\cdot n \\  2 & n & 2 \cdot 3 \\  2 & n+1 & 3 \cdot 4 \\  \vdots & \vdots & \vdots \\  n-1 & 1 & 2\cdot 3 \cdots (n-1)n \\  \end{array}

Es decir, representamos \omega_k^j al producto de los distintos números \leq n, sin repetición, donde k denota a la cantidad de elementos a multiplicar y j los distintos productos que pueden obtenerse de éste.

\omega_k^j(n)=\displaystyle\prod^k_{d_j,d_h\in I \ ; \ j\not=h, h\leq n}d_{j}

Esta representación nos permite finalmente obtener los divisores de un número factorial sin repetición de los mismos. Para ello basta con tomar el producto donde no aparezca el 1, cuando k>1; en ese caso tendremos un elemento menos con la combinación de estos factores, por lo que para cada k debe considerarse a partir de j=\binom{n-1}{k}+1.

\sigma(n!)=\displaystyle\sum_{k=1}^n\sum_{\binom{n-1}{k}< j\leq\binom{n}{k}}\omega_k^j(n)

Es más, puede representarse a la cantidad de divisores de un número factorial como

\tau(n!)=\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k}=2^{n-1}

Este resultado puede probarse usando a=b=1 en (a+b)^n del binomio de Newton.

Para verlo fácil, tomemos el ejemplo del 4!, y podemos conformar sus divisores en la siguiente tabla

\begin{array}{cc|c}  k & j & \omega_k^j(n) \\  \hline  1 & 1 & 1 \\  1 & 2 & 2 \\  1 & 3 & 3 \\  1 & 4 & 4 \\  2 & 1 & 1\cdot 2 \\  2 & 2 & 1\cdot 3 \\  2 & 3 & 1\cdot 4 \\  2 & 4 & 2\cdot 3 \\  2 & 5 & 2\cdot 4 \\  2 & 6 & 3\cdot 4 \\  3 & 1 & 1 \cdot 2 \cdot 3 \\  3 & 2 & 1 \cdot 2 \cdot 4 \\  3 & 3 & 1 \cdot 3 \cdot 4 \\  3 & 4 & 2 \cdot 3 \cdot 4 \\  4 & 1 & 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \\  \end{array}

Pueden bien comprobar que la cantidad de veces que aparece la unidad en el producto de las distintas combinaciones para cada k < 4 es \binom{3}{k}. Vemos que sus divisores son 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24. Y la cantidad de divisores usando la fórmula

\tau(24)=\tau(2^33)=\tau(2^3)\tau(3)=(3+1)(1+1)=8

Mientras que usando el método para factoriales.

\displaystyle\tau(24)=\binom{3}{0}+\binom{3}{1}+\binom{3}{2}+\binom{3}{3}=1+3+3+1=8=2^{4-1}

Anuncios
Esta entrada fue publicada en Teoría de Números. Guarda el enlace permanente.

Responder

Introduce tus datos o haz clic en un icono para iniciar sesión:

Logo de WordPress.com

Estás comentando usando tu cuenta de WordPress.com. Cerrar sesión / Cambiar )

Imagen de Twitter

Estás comentando usando tu cuenta de Twitter. Cerrar sesión / Cambiar )

Foto de Facebook

Estás comentando usando tu cuenta de Facebook. Cerrar sesión / Cambiar )

Google+ photo

Estás comentando usando tu cuenta de Google+. Cerrar sesión / Cambiar )

Conectando a %s