Divisibilidad

El estudio de la divisibilidad y los números primos es un incesante problema hasta nuestros días (¡tan sólo en los números enteros!) que tiene lugar en uno de los campos más longevos de la matemática: la teoría de números. Podemos bien citar algunos de los problemas abiertos como la conjetura fuerte de Goldbach (la débil fue demostrada por el peruano Harald Helfgott hace poco), la conjetura de los primos gemelos, la conjetura de Collatz, o la existencia de los números primos de Fermat para n>4 (y la lista continúa). Al parecer, lo que más han estado dando dolor de cabeza a los matemáticos son los números primos, que parece tan irregular en su distribución, y lo seguirá siendo, si no se resuelve la más popular de todas las conjeturas: la hipótesis de Riemann.

Empero quien quiera embarcarse en demostrar algunos de estos problemas abiertos de teoría de números, deberán sin más iniciar sus estudios en el fundamento de ello: la divisibilidad.

Las propiedades en la operación de suma y multiplicación en los enteros (que no lo demostraremos aquí) son \forall a,b,c\in\mathbb Z:

  1. Asociativa: (a+b)+c=a+(b+c) \ \ \ \ , \ \ \ \ (ab)c=a(bc)
  2. Conmutativa: a+b=b+a \ \ \ \ , \ \ \ \ ab=ba
  3. Propiedad aditiva y multiplicativa (respec.): a=b \Rightarrow a+c=b+c \ \ \ \ , \ \ \ \ a=b \Rightarrow ac=bc
  4. Propiedad distributiva: a(c+b)=ac+ab
  5. Ley de cancelación: a+c=b+c \Rightarrow a=b \ \ \ \ , \ \ \ \ ac=bc \Rightarrow a=b
  6. Inverso: a+(-a)=0
  7. Identidad: a+0=a \ \ \ \ , \ \ \ \ a\cdot 1=a

Conviene iniciar con las definiciones, suponiendo que el lector conoce el conjunto de los números enteros.

Definición 1  Sean a,b\in\mathbb Z, \text{con} \; a\not =0. Decimos que a divide a b (lo denotamos por a|b), si existe algún entero c tal que b=a\cdot c.

Se dice que a es un divisor de b, o bien que b es un múltiplo de a.

Por ejemplo, 3|36 ya que 36=3\cdot 12. Así también, decimos que si un número no divide a otro lo denotaremos por a\not | b. Por ejemplo, 3\not | 8 ya que 8=3\cdot 2+2.

Con esto dicho se generaliza la división de cualesquiera par de enteros mediante el siguiente teorema

Teorema 1  Si D,d son números enteros, con 0<d\leq |D|, entonces existen dos únicos enteros c, \ r tales que D=dc+r, donde 0\leq r <d.

Demostración. Sean D, d enteros arbitrarios pero fijos.

Observemos que necesariamente se debe cumplir que 0<d, entonces se tienen los siguientes casos

  • Si D>0, d>0 entonces D=dc+r
  • Si D>0, d<0 entonces D=d(-c)+r
  • Si D<0, d>0 entonces D=-dc-r+d-d=d(-c-1)+(d-r)
  • Si D<0, d<0 entonces D=dc+(-d-r)

Para probar la existencia basta con tomar al cociente c\in\mathbb Z tal que dc\leq D, o equivalentemente 0\leq D-dc. Con ello obtenemos la diferencia

r=D-dc

Además vemos que D<dc+d, ya que d\not =0, lo que implica

dc\leq D<dc+d

Restando todo entre dc

dc-dc\leq D-dc <dc+d-dc

0\leq D-dc <d

Y reemplazando se obtiene 0\leq r <d.

Es decir,

\forall D,d \in \mathbb Z, \exists c,q\in \mathbb Z \ \text{tal que} \ D=dc+r \ , \ \text{con} \ 0\leq r < d

Ahora, para la unicidad supondremos que existen dos cocientes distintos y dos restos distintos que satisfagan D=dc+r=d\overline{c}+\overline{r}. Supongamos sin perder generalidad que c<\overline{c}. Entonces

D=dc+r<dc+d=d(c+1)\leq d\overline{c}\leq d\overline{c}+\overline{r}=D

Llegando a una contradicción, D<D.

Por lo tanto ha de ser c=\overline{c}. Con esto también se obtiene el resto, dc+r=dc+\overline{r}, y por la ley de cancelación se tiene r=\overline{r}.

\blacksquare

Proposición 1  Sean a,b,c\in\mathbb Z, siendo a \ \text y \ \ b distintos de cero. Entonces se verifica que

(i) 1 divide a a; a divide a cero.

(ii) a|b\wedge b|a \Rightarrow a=\pm b

(iii)  a|b\wedge b|c \Rightarrow a|c

(iv) a|b \wedge a|c \Rightarrow a|(bu+cv) para cualesquiera enteros u y v.

Demostración. (i) Por definición a=1\cdot a \to 1|a. Así mismo a\cdot 0=0\to  a|0.

(ii) Si a|b \to \exists q_1 \in\mathbb Z: b=aq_1 y b|a \to \exists q_2 \in\mathbb Z: a=bq_2; reemplazando el segundo en el primero se tiene b=bq_2q_1, y vemos que por la ley de cancelación q_1q_2=1, que solo tiene sentido si q_1=q_2=\pm 1 ya que nos situamos en los enteros. Luego, reemplazando en la segunda igualdad a=\pm b.

(iii)  (a|b \to \exists q_1 \in\mathbb Z: b=aq_1 )\wedge (b|c \to \exists q_2 \in\mathbb Z: c=bq_2) entonces al sustituir el primer resultado en el segundo se tiene c=(aq_1)q_2=aq_3 donde q_1q_2=q_3\in\mathbb Z. Por tanto, a|c.

(iv)  (a|b \to \exists d_1 \in\mathbb Z: b=ad_1 )\wedge (a|c \to \exists d_2 \in\mathbb Z: c=ad_2) . Multiplicamos la primera y la segunda igualdad por cualesquiera enteros u,v respectivamente

bu=ad_1u \wedge cv=ad_2v

Y sumando miembro a miembro

bu+cv=ad_1u+ad_2v=a(d_1u+d_2v)=at \ \ , t\in\mathbb Z

Por lo tanto, a|(bu+cv)

\blacksquare

Todo número entero positivo podemos representarla mediante un sistema decimal. Por ejemplo si queremos representar al número 26.403 entonces podemos sumar cada dígito a_i 10^i.  Vemos entonces

26.403=2\cdot 10^4+6\cdot 10^3+4\cdot 10^2+0\cdot 10^1+3\cdot 10^0

Teorema 2 (Criterio General de Divisibilidad)  Sea n\in\mathbb Z^+, y \sum_{i=0}^k a_i10^i su representación decimal, y sean r_i los restos de la división de 10^i por m\geq 2, con i=0,1,2,...,k. Entonces n es divisible por m si y solamente lo es 

\displaystyle\sum _{i=0}^k a_i r_i

Demostración. Sea m algún entero. Por el teorema 1 sabemos que han de existir q_i y r_i, con i=0,1,...,k tales que

10^0=q_0m+r_0

10^1=q_1m+r_1

\vdots

10^k=q_km+r_k

En general, para cada 0 \leq i \leq k, donde q_0=0 y r_0=1. Entonces,

10^i-r_i=q_im

es decir,

m|10^i-r_i \ \ \text{con} \ i=0,1,...,k

además, si m|k se cumple también que m|k\cdot l, de aquí que

m|a_i(10^i-r_i) \ \ \text{con} \ i=0,1,...,k

Luego, por la proposición 1

m \bigg| \displaystyle\sum_{i=0}^ka_i(10^i-r_i)

distribuyendo

m \bigg| \bigg(\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i 10^i - \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i\bigg)

 m \bigg| \bigg(n - \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i\bigg) 

Si m|n y  m \bigg| \bigg(n - \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i \bigg) entonces por la proposición 1 se puede expresar como combinación lineal, entonces

 m \bigg| n-\bigg(n - \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i\bigg) \to m \bigg| \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i

Del otro lado se obtiene

Si  m \bigg| \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i  y m \bigg| \bigg(n - \displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i\bigg), por combinación lineal

 m \bigg| \bigg(\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i+n-\displaystyle\sum_{i=0}^k a_i r_i\bigg) \to m | n

\blacksquare


BIBLIOGRAFÍA

  • GONZÁLEZ Gutiérrez, Francisco J. (2004). Apuntes de Matemática Discreta. Lección 10. Divisibilidad, Departamento de Matemáticas, Universidad de Cádiz.
  • IVORRA Castillo, Carlos. Álgebra.
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