Paradoja del barbero

Tras dos decenios de ardua faena del lógico-matemático alemán Gottlob Frege (1848-1925) en su conocido ´´programa logicista´´, consistente en deducir la matemática a partir de la lógica, y más aun, demostrar los teoremas usando solamente lógica, Frege sentía cómo se iba asentando la teoría de conjuntos y la lógica en nuevos métodos de demostraciones.

No obstante, en 1902, cuando se estaba terminando de imprimir su segundo volumen ´´Las Leyes Fundamentales de la Aritmética´´ Frege recibía en sus manos una carta del también lógico Bertrand Russell, aseverando las falencias que había encontrado del volumen anterior. La carta, además del comentario, formulaba una contradicción de la teoría original de conjuntos de Cantor y Frege, el cual venía acompañado de un peculiar ejemplo:

 

En un lejano poblado de un antiguo emirato había un barbero llamado As-Samet diestro en afeitar cabezas y barbas, maestro en escamondar pies y en poner sanguijuelas. Un día el emir se dio cuenta de la falta de barberos en el emirato, y ordenó que los barberos sólo afeitaran a aquellas personas que no pudieran hacerlo por sí mismas. Cierto día el emir llamó a As-Samet para que lo afeitara y él le contó sus angustias:

—En mi pueblo soy el único barbero. No puedo afeitar al barbero de mi pueblo, ¡que soy yo!, ya que si lo hago, entonces puedo afeitarme por mí mismo, por lo tanto ¡no debería afeitarme! Pero, si por el contrario no me afeito, entonces algún barbero debería afeitarme, ¡pero yo soy el único barbero de allí!

El emir pensó que sus pensamientos eran tan profundos, que lo premió con la mano de la más virtuosa de sus hijas. Así, el barbero As-Samet vivió para siempre feliz y barbón.

Es decir, si representamos a S al conjunto que no se contienen a sí mismos, vemos que según Cantor y Frege, esto se representa como S=\{x:x\notin x\}. Pero si fuera S\in S, entonces la definición del mismo conjunto S debería ser S\notin S, ya que hemos afirmado que no se pertenece a sí mismo, lo cual vemos que S\in S; es decir, S\in S \Longleftrightarrow S\notin S. Llegando a una contradicción.

Con esto, a Frege le quedó con agregar una nota al final de su libro (una de las más extrañas confesiones de la historia) que decía: “Difícilmente puede haber algo más indeseable para un científico que ver el derrumbe de sus cimientos justamente cuando la obra está acabada. La carta del Sr. Bertrand Russell me ha puesto en esta situación…”.

Pero antes de pensar en una paradoja podemos observar más bien en un juego de palabras, puesto que es imposible que un elemento esté y no esté en un mismo conjunto. Los matemáticos de la época resolvieron parcialmente el caso asegurando que existen dos tipos de conjuntos, los normales y los singulares. Decimos que un conjunto es normal si no es elemento del mismo conjunto, mientras que singular si se contiene a sí mismo; pero es imposible que un conjunto tenga ambas propiedades.

En la teoría de Cantor se podía probar si todo ordinal tiene un siguiente, considerando \omega+1>\omega, pero siendo \omega el ordinal del conjunto de todos los ordinales y \omega+1 uno de estos ordinales, se podía probar que  \omega+1\leq \omega. Esta paradoja, conocida como ´antinomia de Burali-Forti´, y no un juego de palabras, coloca a la teoría de ordinales en cuestión de si tiene sentido la posibilidad de razonar sobre conjuntos cantorianos.

Esta contradicción fue importante para saber si en verdad una teoría matemática o son meras palabras o tienen bases fundamentadas.

Luego los axiomas elaborados por Zermelo y Fraenkel para conjuntos fueron constituidos los cimientos con mayor rigor que dieron a comprender mejor la falencia de la idea anterior.

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