Segmentos orientados

La inclusión de números negativos fue importante para el avance de las matemáticas, principalmente en el desarrollo del álgebra. De este modo, al igual que el álgebra, la geometría trajo consigo grandes avances en la inclusión de la orientación de segmentos. La geometría de Euclides fue incluida a esta geometría dirigida, que tiene aplicaciones importantes en campos como la física. Supongamos que tenemos un móvil que se mueve a cierta distancia en línea recta, luego regresa al mismo punto de partida, entonces la geometría moderna nos interroga: ¿cuál es la distancia desde el punto de partida?, y no ¿cuál es la medida de su recorrido total?, porque lo que interesa es la relación de un punto con otro.

En la geometría elemental moderna un segmento \overline{AB}, donde A,B son puntos extremos, sobre una recta l, se dice que es orientado si es positivo o negativo según el sentido de la misma.

Definición 1  Llamamos puntos colineales a aquellos puntos que están contenidos en la misma recta.

Definición 2  Si A es el punto inicial desde la izquierda y B es colineal por la derecha (en este orden), entonces \overline{AB}=-\overline{BA}. Además, \overline{AB}=0 si y solo si A\equiv B (A es congruente con B, son coincidentes), es decir, son equivalentes o bien los puntos son iguales. Como podemos considerar el sentido del segmento, entonces la expresión \overline{AB}=-\overline{BA} puede darse por notación también como \overline{AB}+\overline{BA}=0.

Teorema 1  Si A, B, C son puntos que están en una misma recta (no necesariamente distintos) entonces

\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=0

Esto se ve fácilmente si \overline{AB}=\overline{AC}+\overline{CB}, donde C está entre A, B. Y restando ambos lados de la igualdad por  \overline{AC}+\overline{CB}, se comprueba directamente. Con el mismo sistema, puede evaluarse si el punto C está en la prolongación de \overline{AB} o en la prolongación de \overline{BA}, es decir no está en el interior de este segmento. También con la misma rigurosidad, puede verse cuando los puntos son congruentes.

Con esto, podemos esbozar el teorema de Euler

Teorema 2  Si A, B, C, D son puntos colineales, entonces

\overline{AB} \cdot \overline{CD}+\overline{AC} \cdot \overline{DB}+\overline{AD} \cdot \overline{BC}=0

Demostración. Sean A, B, C, D tres puntos colineales, entonces por la definición antes vista se tiene que

\overline{AB}+\overline{BC}+\overline{CA}=0

Si multiplicamos ambos miembros por \overline{CD} -para obtener el primer sumando-, entonces

\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot \overline{CD}+\overline{CA}\cdot \overline{CD}=0

Ahora solo basta con descomponer cada segmento, como son colineales se puede escribir \overline{AB}=\overline{AC}+\overline{CB} y alterando el orden, además \overline{CA}\cdot \overline{CD}=\overline{AC}\cdot \overline{DC}

\overline{AB}\cdot \overline{CD}+\overline{BC}\cdot (\overline{CA}+\overline{AD})+\overline{AC}\cdot (\overline{DB}+\overline{BC})=0

Haciendo la distribución y asociando lo que se quiere

(\overline{AB} \cdot \overline{CD}+\overline{AC} \cdot \overline{DB}+\overline{AD} \cdot \overline{BC})+\underset{\star }{\underbrace{\overline{BC} \cdot \overline{CA}+\overline{AC} \cdot \overline{BC}}}=0

Ahora desarrollamos \star

\star=\overline{BC} \cdot \overline{CA}+\overline{AC} \cdot \overline{BC}=\overline{BC}\big(\overline{CA}+\overline{AC}\big)=\overline{BC} \cdot \overline{CC}

Y como, por definición, \overline{CC}=0, finalmente se comprueba que

\overline{AB} \cdot \overline{CD}+\overline{AC} \cdot \overline{DB}+\overline{AD} \cdot \overline{BC}=0

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