Deducción de la fórmula para el binomio de Newton

Para muchos el binomio de Newton es uno de los resultados más hermosos de las matemáticas, que es atribuido por Isaac Newton a pesar de ser descubierto por primera vez por Abu Bekr ibn Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji alrededor del año 1000.

Newton nunca publicó este teorema, pues lo hizo John Wallis por primera vez en 1685 en su Álgebra, atribuyendo a Newton este descubrimiento.

Todo comienza con estudiar cómo se comporta el producto

(a+b)^k=\underbrace{(a+b)(a+b)(a+b)\cdots (a+b)}_{k \ veces}

Además, conociendo la potencia k del binomio podemos hallar el siguiente mediante

(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}

Si aplicamos la ley de la distribución

(a+b)^1=(a+b)(a+b)^0=(a+b)\cdot 1=a+b

(a+b)^2=(a+b)(a+b)^1=a\cdot a+a\cdot b+b\cdot a+b\cdot b=a^2+2ab+b^2

(a+b)^3=(a+b)(a+b)^2=(a+b)(a^2+2ab+b^2)=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3

se cumple para estos casos particulares.

Con la combinación del Triángulo de Pascal (o de Tartaglia) se pueden determinar los coeficiente del polinomio para el binomio (a+b). Observemos que

\begin{array}{ccl}  1 & \Rightarrow &(a+b)^0=\mathbf{1}\\  1 \qquad 1 & \Rightarrow &(a+b)^1=\mathbf{1}a+\mathbf{1}b\\  1 \qquad 2 \qquad 1 & \Rightarrow &(a+b)^2=\mathbf{1}a^2+\mathbf{2}ab+\mathbf{1}b^2\\  1 \qquad 3 \qquad 3\qquad 1 & \Rightarrow &(a+b)^3=\mathbf{1}a^3+\mathbf{3}a^2b+\mathbf{3}ab^2+\mathbf{1}b^3\\  1 \qquad 4 \qquad 6 \qquad 4\qquad 1 & \Rightarrow &(a+b)^4=\mathbf{1}a^4+\mathbf{4}a^3b+\mathbf{6}ab^3+\mathbf{4}ab^3+\mathbf{1}b^4\\  \vdots & & \ \ \ \ \vdots  \end{array}

Estos números pueden ser calculados usando los coeficientes binomiales, es decir reemplazándolos por los \displaystyle\binom{k}{j}=\frac{1\cdot 2\cdots(k-j)(k-j+1)\cdots(k-1)\cdot k}{(1\cdot 2 \cdots j)(1\cdot 2 \cdots (k-j))}.

Esto es

\begin{array}{c}  \displaystyle\binom{0}{0}\\  \displaystyle\binom{1}{0} \qquad \binom{1}{1}\\  \displaystyle\binom{2}{0} \qquad \binom{2}{1} \qquad \binom{2}{2}\\  \displaystyle\binom{3}{0} \qquad \binom{3}{1} \qquad \binom{3}{2} \qquad \binom{3}{3}\\  \vdots\\  \displaystyle\binom{k}{0} \qquad \binom{k}{1} \qquad \ \cdots \qquad \binom{k}{k-1} \qquad \binom{k}{k}  \end{array}

Por lo que podemos reducir usando factoriales

\displaystyle\binom{k}{j}=\dfrac{k!}{j!(k-j)!} \qquad \forall k,j\in\mathbb{N}_0 \ con \ 0\leq \ j \leq k

También observamos que los exponentes de uno se reducen hasta cero y el otro aumenta hasta el valor de la potencia, por lo que la suma de cada término nos da

(a+b)^k=\binom{k}{0}a^kb^0+\binom{k}{1}a^{k-1}b^1+\binom{k}{2}a^{k-2}b^2+\cdots+\binom{k}{k-1}a^1b^{k-1}+\binom{k}{k}a^{k-k}b^k

Con esto se sigue directamente al

Teorema(Binomio de Newton). Sean a,b\in\mathbb{R}, n\in\mathbb{N}_0, entonces

(a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\binom{n}{k}a^{n-k}b^k


GASTON RAFAEL BURRULL NAREDO. Suma de potencias, 22 de marzo de 2009.


Con \mathbb N_0 lo que se hace con los naturales es incluir al cero, ya que a veces no se tiene en cuenta al cero. Es decir \mathbb N_0=\mathbb N \cup \{0\}.

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