Lógica formal

Se entiende por lógica como el conocimiento humano a partir del cual se quiere llegar a deducir algún razonamiento. La lógica ya era estudiada filosóficamente por Aristóteles. El contexto de lógica trascendental había sido utilizada por Kant, por principios intuitivos a priori (tal como lo caracterizaba). Empero, no fue sino hasta el siglo XX que Russell y Whitehead presentan Principia Mathematica en 1910, un libro que trataría de la metamatemática, una estructura logicista que brindaría a partir de aquel entonces la lógica formal, que más tarde otros grandes contribuirían en demostraciones rigurosas.

La matemática siempre ha sido conducida por el razonamiento, sin embargo la estructura puramente lógica debió llevarse a un estudio metamatemático; para que un argumento matemático sea aceptable debe estar ligado a unas condiciones de rigor, que normalmente se aplican inconscientemente. Con esto podemos establecer criterios para afirmar los teoremas, no para realizarlas; es decir, concebir los axiomas con criterios de inferencia y deducción.

La inferencia es un proceso del intelecto por la cual se pasa de una verdad a otra, mediante el uso de premisas.

Podemos aplicar los razonamientos a partir de unos lenguajes. Aquí, un lenguaje formal de primer orden, denotado por \mathcal{L}, es una colección de signos divididos en las categorías: variables (x,y,z), constantes (c_0, c_1, \cdots, c_m), relatores (son relatores n-ádicos los R_0^n,\cdots, R_m^n), funtores (f_1^n), implicador (\to).

Utilizando los símbolos del lenguaje (en nuestro caso el castellano), podemos expresar ciertas oraciones por términos y predicados, al que llamaremos constantes y relatores respectivamente.

Estableceremos asimismo la simbolización del cuantificador existencial por  \bigvee para indicar el “existe algo” que cumpla alguna condición, y el cuantificador universal por  \bigwedge para indicar el “para todo” que cumpla la condición que se indique.

Dado un lenguaje formal \mathcal{L}, se conoce K_{\mathcal{L}} como un sistema deductivo formal que se rige por los siguientes axiomas y reglas reglas:

Axiomas

Los axiomas de K_{\mathcal L} son las fórmulas que siguen, donde \alpha, \beta, \gamma son fórmulas de \mathcal L y t es un término cualquiera de \mathcal L.

CodeCogsEqn

Reglas

Modus ponendo ponens (MP). Siempre que se dé una proposición condicional y el antecedente de la misma, se puede concluir inmediatamente con su consecuente. En notación formal

\begin{array}{cl}    a) & \alpha \to \beta \\    b) & \alpha \\    c) & \beta    \end{array}

Introducción del generalizador (IG) de \alpha es consecuencia inmediata \bigwedge x_1\alpha.

Una deducción en un sistema formal F a partir de una colección de fórmulas \Gamma es una sucesión finita \alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_m fórmulas del lenguaje  \mathcal{L} tales que cada \alpha_k es una consecuencia de las fórmulas anteriores o bien fórmulas de \Gamma o bien axiomas de F. Una demostración es una deducción sin premisas. La última de deducción en F a partir de \Gamma se representará por \Gamma\underset{F}{\vdash}\alpha. Los teoremas lo representaremos por \underset{F}{\vdash}\alpha.

Teorema 1 Si \alpha es una fórmula de \mathcal L, entonces \vdash\alpha\to\alpha.

Demostración

\begin{array}{cll}    (1) & [\alpha\to((\alpha\to\alpha)\to\alpha)]\to[(\alpha\to(\alpha\to\alpha))\to(\alpha\to\alpha)] & (K2) \\    (2) & \alpha\to[(\alpha\to\alpha)\to\alpha] & (K1) \\    (3) & [\alpha\to(\alpha\to\alpha)]\to(\alpha\to\alpha) & (MP \ 1,2) \\    (4) & \alpha\to(\alpha\to\alpha) & (K1) \\    (5) & \alpha\to\alpha & (MP \ 3,4)    \end{array}

\hfill\blacksquare

Teorema 2 (de la deducción) Sean \alpha y \beta fórmulas del lenguaje \mathcal L, y \Gamma la colección de fórmulas de \mathcal L. Si \Gamma, \alpha\vdash\beta y existe una deducción de \beta en la que no generalice respecto a variables en \alpha, entonces \Gamma\vdash\alpha\to\beta.

Así, podemos proceder a demostrar algunas reglas, por ejemplo:

Modus Barbara o Silogismo Hipotético (MB): \alpha\to\beta, \ \beta \to \gamma \vdash \alpha \to \gamma.

Demostración

\begin{array}{cll}    (1) & \alpha\to\beta & (Premisa) \\    (2) & \beta\to\gamma & (Premisa) \\    (3) & \alpha & (Premisa) \\    (4) & \beta & (MP \ 1,3) \\    (5) & \gamma & (MP \ 2,4)    \end{array}

Así por el teorema de la deducción, \alpha\to\beta, \beta\to\gamma\vdash \alpha\to\gamma

\hfill\blacksquare


IVORRA CASTILLO, CARLOS. Lógica.

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