Hablando de amigos…

En esta semana se celebra el día internacional de la amistad, específicamente el 30 de julio, una fecha que debe ser valorada por el significado de la amistad.  El responsable de esta fecha es el compatriota Artemio Bracho quien tras varios años de lucha consiguió que las Naciones Unidas promueva como “día internacional”.

Y ya que recordamos a los amigos, nos remontamos nuevamente a los pitagóricos, quienes conocían el concepto de amistad y de números amigos

Una dupla de números amigos (A, B) es aquella en la que la suma de los divisores propios de A sea igual a B, y la suma de los divisores propios de B sea igual a A.

Además encontraron la siguiente dupla (220, 284). En efecto, la suma de los divisores de 220 es 1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284. Y los divisores de 284 es 1+2+4+71+142=220.

Los pitagóricos creyeron que no había más parejas, y se quedaron hasta ahí.

Pero no fue sino hasta el año 850 d.C., que el árabe Tabit ibn Qurra consiguiera una forma para encontrar nuevos números amigos.

Consideremos los siguientes números

\begin{array}{cl}    p= & 3\times 2^{n-1}-1 \\    q= & 3 \times 2^n-1 \\    r= & 3^2 \times 2^{2n-1}-1    \end{array} \qquad\qquad , \ \ \forall n\in\mathbb{N}-\{0,1\}

donde las cantidades p, q, r son números primos. Entonces la siguiente dupla es un número amigo (2^npq, \ 2^nr).

Demostremos este hecho. Nombremos A=2^npq y B=2^nr. Y consideremos la función \sigma : \mathbb{N}-\{0,1\}\to\mathbb{N}-\{0\}, donde \sigma(\lambda) es la suma de los divisores de \lambda. Sea d_{\lambda}=\{d_0,d_1,d_2,\cdots,d_{n}\} los divisores propios de \lambda (obsérvese que d_0=1, \ d_{n+1}=\lambda) lo generalizamos como

\sigma(\lambda)-\lambda=\displaystyle\sum_{0\leq k\leq n+1}d_k-d_{n+1}=\sum_{0\leq k\leq n}d_k

Además notamos que \sigma(A)=\sigma(B)=A+B. Por tanto los divisores propios (que es lo que queremos) es \sigma(A)-A=B y \sigma(B)-B=A.

Notemos también que \sigma(r)=\sigma(p)\sigma(q); esto significa que hallamos su mínimo común múltiplo. En nuestro ejemplo de 220 y 284 vemos que \sigma(220)=\sigma(2^2)\sigma(5)\sigma(11)=(8-1)\cdot(5+1)\cdot(11+1)=504, pero con nuestra definición \sigma(220)-220=504-220=284. Por tanto también es válido r+1=(p+1)(q+1).

Por lo que

\sigma(r)=\sigma(p)\sigma(q)=(p+1)(q+1)=(3\times 2^{n-1}-1+1)(3\times 2^n-1+1)=3^2\times 2^{2n-1}

Si r es un número primo, se cumple que \sigma(r)=r+1=3^2\times 2^{2n-1} entonces el valor es r=3^2\times 2^{2n-1}-1.

\Box{}

Notemos que

\sigma(A)=(2^{n+1}-1)(p+1)(q+1)=2^nr=B

\sigma(B)=(2^{n+1}-1)(r+1)=2^npq=A

es una pareja de números amigables.

Se conoce que esta fórmula nos ofrece cada pareja de números amigos, pero no todas.


Otro ejemplo que puede mencionarse es cuando n=4. Así obtenemos los valores p=23, q=47, r=1151. Y se forma la pareja de amigos (17 \ 296, 18 \ 416).

La demostración para casos generales (similar al de Tabit) fue hecha por Leonhard Euler.

Como curiosidad. Los números que son amigos de sí mismos se conocen como números perfectos. Por ejemplo \sigma(28)-28=1+2+4+7+14=28.


La lista continúa, y si quieres regalar alguna pareja a tus amigos, puedes verlas aquí, antes se consideraba de muy buen augurio.

Algunas explicaciones en este sitio (solo que están en inglés).

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