Suma de potencias

Como algunos saben, existen fórmulas para calcular sumas enésimas de potencias de la forma

\displaystyle\sum_{i=0}^ni^k=0^k+1^k+2^k+3^k\cdots+n^k \qquad{k\in\mathbb{N}}\qquad{(1)},

tales son

\displaystyle\sum_{i=0}^ni=\cfrac{n(n+1)}{2} \qquad{para\;k=1}\qquad{(2)}

\displaystyle\sum_{i=0}^ni^2=\cfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} \qquad{para\;k=2}\qquad{(3)}

\displaystyle\sum_{i=0}^ni^3=\bigg[\frac{n(n+1)}{2}\bigg]^2=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\qquad{para\;k=3}\qquad{(4)}

Y vemos que, curiosamente que (2) al cuadrado nos da efectivamente la fórmula (4).

Podemos obtener la fórmula mediante la propiedad telescópica, que resumido se basa en lo siguiente \sum_{i=1}^nA_{i+1}-A_i=A_{n+1}-A_1.

Mediante este resultado podemos obtener la fórmula (2). Donde A_i=i^2, por lo que tenemos

(n+1)^2-1=\displaystyle\sum_{i=1}^n(i+1)^2-i^2

n^2+2n=\displaystyle\sum_{i=1}^n(2i+1)

 n^2+2n=\displaystyle\sum_{i=1}^n 2i+\displaystyle\sum_{i=1}^n 1

n^2+2n=2\displaystyle\sum_{i=1}^n i+n

\displaystyle\sum_{i=1}^n i=\frac{n(n+1)}{2}

Las fórmulas para n\geq 2 son análogas al razonamiento indicado. Sin embargo, se volvería algo engorroso tratar para valores grandes de n.

Generalizaremos utilizando el Binomio de Newton, para cualquier potencia k, que usando la propiedad telescópica nos quedará k+1, y la expresión

(n+1)^{k+1}-1=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(i+1)^{k+1}-i^{k+1} \qquad{,\; \forall\;k\in\mathbb{N}_0}\qquad{(5)}

Como sabemos, para toda suma de dos números elevados a una cierta potencia tenemos la siguiente expresión

(a+b)^k=\displaystyle\sum_{j=0}^k\binom{k}{j}a^{k-j}b^j

que se conoce como Binomio de Newton.

Lo podemos usar para k+1 como en (5), quedando expresado

(a+b)^{k+1}=\displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}a^{k+1-j}b^j\qquad{(6)}

y como en ambos binomios hay un término 1, la expresión anterior se reduce a

(a+1)^{k+1}=\displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}a^{k+1-j}\qquad{(7)}

Con todo esto, ya podemos desarrollar la expresión para despejar \sum i^k, entonces conociendo (5) tenemos lo siguiente

(n+1)^{k+1}-1=\displaystyle\sum_{i=1}^n(i+1)^{k+1}-i^{k+1}

podemos reemplazar con (7)

\displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{j}-1=\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{k+1-j}-i^{k+1}

Reducimos hasta k en el segundo término

\displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{j}-1=\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^{k}\binom{k+1}{j}i^{j}

\displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{j}-1=\displaystyle\sum_{i=1}^n\binom{k+1}{k}i^{k}+\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}i^{j}

\displaystyle\binom{k+1}{k}\sum_{i=1}^ni^{k}=\displaystyle\sum_{j=0}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{j}-1-\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}i^{j}

\displaystyle\binom{k+1}{k}\sum_{i=1}^ni^{k}=\displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{j}-\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}i^{j}

despejando \sum i^k obtenemos

\displaystyle\sum_{i=1}^ni^{k}=\frac{\displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{j}-\displaystyle\sum_{i=1}^n\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}i^j}{\displaystyle\binom{k+1}{k}}

que era a lo que queríamos llegar. Sin embargo podemos reducir \binom{k+1}{k}. Por combinatoria tenemos que

\binom{k+1}{k}=\cfrac{(k+1)!}{k!(k+1-k)!}=\cfrac{(k+1)!}{k!}=\cfrac{k!(k+1)}{k!}=k+1\qquad{\forall k\in\mathbb{N}_0}

De lo que resulta finalmente:

\displaystyle\sum_{i=1}^ni^{k}=\frac{1}{k+1}\Bigg[\displaystyle\sum_{j=1}^{k+1}\binom{k+1}{j}n^{j}-\displaystyle\sum_{j=0}^{k-1}\binom{k+1}{j}\displaystyle\sum_{i=1}^ni^j\Bigg]


REFERENCIA:

  • GASTÓN RAFAEL BURRULL NAREDO. Suma de Potencias. 2009.
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