Cálculo de determinantes

El determinante de una matriz es una función multilineal de cada una de sus filas, con ciertas propiedades y aplicable a numerosos campos. Son operaciones potentes, inicialmente usadas para estudiar las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Conceptos previos

Nos basaremos en los axiomas de los determinantes para comenzar a estudiarlas, que necesitan nuevamente un conocimiento previo: el producto mixto.

Primeramente, veremos que el producto punto es una operación de dos vectores, que da como resultado un escalar, definido como \vec{u}\cdot\vec{v}=u_1v_1+u_2v_2+\cdots+u_nv_n. Cuando los vectores pertenecen a \mathbb{R}^3 es posible obtener como resultado otro vector, denominado producto cruz, definido por:  \vec{u}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\    u_1 & u_2 & u_3 \\  v_1 & v_2 & v_3  \end{vmatrix} , donde \vec{i}\vec{j}\vec{k} son vectores unitarios. El producto mixto de tres vectores

\vec{u}\cdot(\vec{w}\times\vec{v}) =  \begin{vmatrix}  u_1 & u_2 & u_3\\  w_1 & w_2 & w_3 \\  v_1 & v_2 & v_3  \end{vmatrix}

De aquí partimos para observar los siguientes axiomas.

Axiomas para la función determinante

Si A=(a_{ij}) es una matriz de orden n\times n con elementos reales o complejos, designadas las filas por A_1, A_2, \cdots A_n, donde la fila i-ésima de A es un vector en E_n dado por A_i=(a_{i1}, a_{i2}, ..., a_{in}), con 1\leq i \leq n. Denotaremos el valor del determinante de una matriz por d(A_1, A_2, ... , A_n) o det(A).

Toda matriz se denomina función determinante si satisface los siguientes axiomas:

  1. HOMOGENEIDAD. Si se multiplica la k-ésima fila A_k por un escalar t, el determinante queda multiplicado por t: d(A_1,\cdots, tA_i,\cdots, A_n)=td(A_1,\cdots,A_i,\cdots, A_n)
  2. ADITIVIDAD. Para cada valor de se cumple que: d(A_1,\cdots,A_k+C,\cdots,A_n)=d(A_1,\cdots,A_k,\cdots,A_n)+d(A_1,\cdots,C,\cdots,A_n).
  3. SE ANULA SI DOS FILAS CUALESQUIERA SON IGUALES. d(A_1,\cdots,A_n)=0 \qquad{si\, A_i=A_j}.
  4. LA MATRIZ IDENTIDAD TIENE DETERMINANTE UNIDAD. d(I_1,\cdots,I_n)=1.

Estos conceptos son necesarios para calcular el determinante de una matriz cuadrada de orden dos.

Teorema. El determinante de una matriz de orden 2\times 2 es

det A = det  \begin{bmatrix}  a_{11} & a_{12} \\  a_{21} & a_{22}  \end{bmatrix}  =a_{11}a_{22}-a_{21}a_{12}

Demostración: Queremos demostrar el valor del determinante de la matriz A, que puede escribirse como det A=det(A_1,A_2).

Donde la primera fila es A_1=(a_{11},a_{12})=(a_{11},0)+(0,a_{12})=a_{11}\vec{i}+a_{12}\vec{j}. De forma análoga llegamos a la segunda fila A_2=a_{21}\vec{i}+a_{22}\vec{j}.

Sustituimos A_1

det A = d(A_1, A_2) = d(a_{11}\vec{i}+a_{12}\vec{j};A_2)

Lo podemos separar, tal como nos indica el axioma 2 de aditividad:

det A = d(a_{11}\vec{i}; A_2)+d(a_{12}\vec{j}; A_2)

Ahora sustituimos la segunda fila A_2

det A = d(a_{11}\vec{i}; a_{21}\vec{i}+a_{22}\vec{j})+d(a_{12}\vec{j}; a_{21}\vec{i}+a_{22}\vec{j})

Y lo volvemos a separar por aditividad

det A = d(a_{11}\vec{i}; a_{21}\vec{i})+d(a_{11}\vec{i}; a_{22}\vec{j})+d(a_{12}\vec{j}; a_{21}\vec{i})+d(a_{12}\vec{j}; a_{22}\vec{j})

 Empleamos el axioma de homogeneidad

det A = a_{11}a_{21}d(\vec{i}; \vec{i})+a_{11}a_{22}d(\vec{i}; \vec{j})+a_{12}a_{21}d(\vec{j}; \vec{i})+a_{12}a_{22}d(\vec{j}; \vec{j})

Ahora, mediante el axioma 3, el primer determinante y la cuarta se anulan

det A = a_{11}a_{21}\cdot0+a_{11}a_{22}d(\vec{i}; \vec{j})+a_{12}a_{21}d(\vec{j}; \vec{i})+a_{12}a_{22}\cdot0

Luego ordenamos con respecto a \vec{i}=(1,0)\vec{j}=(0,1), y como se cambia el orden también cambian de signo, luego nos queda

det A = a_{11}a_{22}d(\vec{i}; \vec{j})-a_{12}a_{21}d(\vec{i}; \vec{j})

Y finalmente procedemos a sustituir el valor del determinante identidad por 1, que luego nos da

det A = a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

que era a lo que queríamos llegar.


A partir de este razonamiento, podemos llegar a calcular determinantes de orden n\geq 2.

Aquí un libro de Determinantes con explicaciones de los axiomas, teoremas y demostraciones.

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