Demostración de la derivada de e

Como sabemos, la derivada de la función f(x)=e^x no se modifica, ya que su derivada es f'(x)=e^x. Pero para saber por qué ocurre esto solo con la función exponencial e, debemos recurrir a la definición de derivadas.  Consideremos la función f(x)=e^x continua en un intervalo cerrado [a, b]; como f es continua en todo su intervalo [-\infty, +\infty], entonces es derivable en el intervalo abierto (a, \; b). La definición de la derivada que podemos aplicar por practicidad es ésta

f'(x)=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{f(x+h)-f(x)}{h}

Sustituimos la función en la definición formal de derivadas, y aplicamos unos procesos de factoreo

\cfrac{d\;e^x}{dx}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{e^{x+h}-e^x}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{e^x\big(e^h-1\big)}{h}

Como el límite se aplica a h entonces e^x podemos quitarlo del límite

e^x\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{e^h-1}{h}

Ahora solo resta calcular esta expresión \displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{e^h-1}{h}. Primero expandimos e^h

e^h=1+h+\cfrac{h^2}{2!}+\cfrac{h^3}{3!}+\cdots+\cfrac{h^n}{n!}

Le sumamos -1

 e^h-1=h+\cfrac{h^2}{2!}+\cfrac{h^3}{3!}+\cdots+\cfrac{h^n}{n!}

Luego lo multiplicamos por 1/h

 \cfrac{e^h-1}{h}=1+\cfrac{h}{2!}+\cfrac{h^2}{3!}+\cdots+\cfrac{h^{n-1}}{n!}

Aplicamos el límite a ambos miembros y verificamos su valor

 \displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{e^h-1}{h}=\displaystyle\lim_{h\to 0}\bigg(1+\cfrac{h}{2!}+\cfrac{h^2}{3!}+\cdots+\cfrac{h^{n-1}}{n!}\bigg) \Rightarrow\displaystyle\lim_{h\to 0}\cfrac{e^h-1}{h} = 1 + 0 + 0 + \cdots + 0=1

Por tanto

\huge{\cfrac{d\;e^x}{dx}=e^x}

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