Derivadas

La derivada es una de las herramientas más fundamentales de las matemáticas, específicamente en el estudio de las aproximaciones, conocido como cálculo infinitesimal. El entendimiento de la derivada solo necesita comprensión por los límites, luego en la explicación lo detallaré en lo posible.

El fin principal de la derivada es encontrar un punto específico en la función según cambie la variable independiente.

Definición

Como estamos buscando un punto específico en la función, lo mejor que podemos hacer es encontrar el punto de la tangente. Para llegar al punto requerido, podemos aproximarnos a éste mediante un uso de la tangente.

En la imagen de la derecha vemos que, mediante geometría analítica, se forma un triángulo rectángulo.

Sea a un punto de la curva, notamos que si h es tan pequeño que llegue a cero, entonces encontraremos el punto buscado aproximándonos a él mediante la recta tangente.

Podemos usar la fórmula de la tangente tg(x)=\cfrac{sen(x)}{cos(x)}, en este caso podemos sustituir los valores de seno y coseno como sen(a)=f(a+h)-f(a) y cos(a)=h, respectivamente; y considerando un punto a.

Haciendo estos cambios de valores, podemos ver llegamos al punto si aplicamos límite para acercar a cero la h. Por definición de derivada, la fórmula de hallar es esta

f'(a)=\displaystyle\lim_{h\to 0} \cfrac{f(a+h)-f(a)}{h}

Si la derivada de f, existe en todos los puntos x, se puede definir la derivada de f\,, como la función cuyo valor en cada punto x, es la derivada de f en x.

Puesto que sustituir h, por 0 produce una división por cero, calcular directamente la derivada puede no ser intuitivo. Una técnica posible consiste en operar en el numerador, de manera que se pueda cancelar la h, del denominador. Y eso es posible fácilmente en los polinomios. Pero para muchas otras funciones el resultado es incierto. Afortunadamente, hay reglas generales que facilitan diferenciar la mayoría de las funciones simples.

Otra fórmula fundamental de la derivada es esta

f'(x)=\displaystyle\lim_{x\to a} \cfrac{f(x)-f(a)}{x-a}

Una condición necesaria pero no suficiente para que una función sea derivable en un punto es que esta sea continua. Intuitivamente, una función continua es aquella en la cual pequeños incrementos en los elementos del dominio de la variable dependiente produce pequeños incrementos en el valor de dicha función. Para esto también es importante que se cumpla lo siguiente \lim_{x \to a+}f(x)= \lim_{x \to a-}f(x)=\lim_{x \to a}f(x)=f(a)

De conocer este concepto básico de derivada y continuidad, podemos proceder a aplicar la diferenciación usando la definición. Por ejemplo, derivemos la función f(x)=x^2-3, aplicando la definición nos resulta

f'(a)=\displaystyle\lim_{x\to a} \cfrac{f(x)-f(a)}{x-a}= \displaystyle\lim_{x\to a}\cfrac{(x^2-3)-(a^2-3)}{x-a}=\displaystyle\lim_{x\to a}\cfrac{x^2-3-a^2+3}{x-a}=\displaystyle\lim_{x\to a}\cfrac{(x-a)(x+a)}{x-a}=\displaystyle\lim_{x\to a}x+a=a+a=2a.

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