Divergencia de la serie armónica

La serie armónica es un caso único de sucesión, dado que trata simplemente de la suma de los inversos de los números naturales, que se expresa como

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{1}{n}

Desde 1350 ya se conocía que esta serie es divergente, y fue Nicolás Oresme quien nos ofrece una demostración para este hecho.

Comenzó verificando la desigualdad, término a término de las siguiente sucesiones

1+\cfrac{1}{2}+\bigg[\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}\bigg]+\bigg[\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{8}\bigg]+\cdots>1+\cfrac{1}{2}+\bigg[\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{4}\bigg]+\bigg[\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{8}+\cfrac{1}{8}\bigg]+\cdots

Podemos ver que estamos comparando los términos en corchetes, si los resolvemos los de la derecha tenemos que

1+\cfrac{1}{2}+\bigg[\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}\bigg]+\bigg[\cfrac{1}{5}+\cfrac{1}{6}+\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{8}\bigg]+\cdots>1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}+\cdots=+\infty

Vemos que, a partir de los corchetes, los términos se hacen cada vez mayor que  \frac{1}{2}, por ende tiende a ser mayor que la serie de la derecha a medida que crece, así que tenemos

\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\cfrac{1}{n}=1+\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{4}+\cfrac{1}{5}+\cdots>1+1+1+1+\cdots=\infty

Serie armónica parcial

La serie armónica parcial se representa por

H_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cfrac{1}{k}

donde esta expresión crece aproximadamente tan grande como el logaritmo natural. Esto es así por el parentesco de la suma con la integral \displaystyle\int^n_1\cfrac{1}{x}dx, cuyo valor es ln(n). Luego podemos ver que estos valores se aproximan cada vez más a medida que tienden a infinito (no que el valor sea infinito); donde con más precisión se obtiene

\gamma=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Bigg[\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\cfrac{1}{k}-ln(n)\Bigg]

conocida la constante γ¹  desde 1734 como la de Euler-Mascheroni.


¹ La constante gamma tiene por valor \gamma=0,577215664901532860\cdots, que ofrece una mínima diferencia entre ambas funciones.


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