Aquiles y la tortuga

Zenón de Elea, un antiguo filósofo griego, propuso un problema mental y paradójico al mismo tiempo, dado que representaba al hombre más rápido y sagaz de aquellos tiempos en una carrera con una lenta tortuga. ¿De dónde nace la paradoja? Pues surge de una ventaja que ofrece Aquiles (como La Liebre y la tortuga), aquí su paradoja:

Aquiles, llamado “el de los pies ligeros” y el más hábil guerrero de los aqueos, quien mató a Héctor, decide salir a competir en una carrera contra una tortuga. Ya que corre mucho más rápido que ella, y seguro de sus posibilidades, le da una gran ventaja inicial. Al darse la salida, Aquiles recorre en poco tiempo la distancia que los separaba inicialmente, pero al llegar allí descubre que la tortuga ya no está, sino que ha avanzado, más lentamente, un pequeño trecho. Sin desanimarse, sigue corriendo, pero al llegar de nuevo donde estaba la tortuga, ésta ha avanzado un poco más. De este modo, Aquiles no ganará la carrera, ya que la tortuga estará siempre por delante de él.

A pesar de que sea lógico pensar que alguna vez lo alcanzará, basta considerar una cierta distancia de ventaja. Si supusiéramos que Aquiles es solo diez veces más veloz que la tortuga y que la ventaja otorgada a esta última es de 10 metros, entonces, según argumenta Zenón, cuando Aquiles haya recorrido estos primeros 10 metros iniciales la tortuga ya estará más lejos (estará un metro más allá, es decir habrá recorrido un metro) y cuando Aquiles haya recorrido este nuevo metro para alcanzarla, la tortuga estará nuevamente más lejos (10 centímetros más). Aquiles continúa pero al llegar allí, la tortuga estará otro centímetro más lejos (es decir en los 11 metros y 11 centímetros) así sucesivamente.

Desde el punto de vista matemático, el concepto que subyace a la paradoja es el de serie, más precisamente, la existencia de las series convergentes. Lo que aplica a la situación que plantea la paradoja es que la suma de infinitos términos puede ser finita. Si se suman los segmentos recorridos por Aquiles se obtiene una serie geométrica convergente:

10+1+{1\over 10}+{1\over 100}+{1\over 1000}+\cdots=10\displaystyle\sum_{n=0}^\infty\left ({1\over 10}\right)^{n}={10\over {1-1/10}}={10\over {9/10}}=11,11111...

Así, en la interpretación moderna, basada en el cálculo infinitesimal que era desconocido en época de Zenón, se puede demostrar que Aquiles realmente alcanzará a la tortuga, sobre la base de la demostración del matemático escocés James Gregory (1638-1675) acerca de que una suma de infinitos términos puede tener un resultado finito. Los tiempos en los que Aquiles recorre la distancia que lo separa del punto anterior en el que se encontraba la tortuga son cada vez más y más pequeños (hasta el infinito más pequeños), y su suma da un resultado finito, que es el momento en que alcanzará a la tortuga.

Lo que sí es cierto, es que Aquiles alcanzará a la tortuga dependiendo de la distancia de la llegada y del tiempo.

Para ilustrar un poco, aquí una suposición del tiempo y velocidad

La relación entre la distancia que separa a la tortuga del punto de partida de Aquiles y el tiempo transcurrido será: d = 900 + 20t.


FUENTE:

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