La función exponencial

El número e es una de las constantes más importantes de las matemáticas junto al número π , pero sus inicios no brotaron específicamente de la matemática pura, sino más bien de la economía.

Inicios

El “descubrimiento” de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año: 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por 1,5^2 tenemos 1\;UM (1,50)^2 = 2,25\;UM. Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen 1\;UM 1,254 = 2,4414.... En caso de pagos mensuales el monto asciende a 1\; UM (1+\textstyle{1 \over 12})^{12} = 2,61303...UM. Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de \textstyle {1 \over n}, el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:

e=\displaystyle\lim_{n\to\infty} \left(1+{1\over n}\right)^n\qquad{(1)}

Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.

Definición

La generalidad de esta función es expresarla como e^x\;\forall x\in\mathbb{C}, donde vemos que es un caso especial de la expansión de Taylor

e^x=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\cfrac{x^{n}}{n!}\qquad{(2)}

 Como resultado de la sustitución x=1 nos queda expresado el número e

e=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\cfrac{1}{n!}=2,718281828459045235360287471...

Particularidades

La función exponencial –que puede escribirse tanto e^x como exp(x)-, tiene unas propiedades un tanto particulares, considerando f(x)=e^x

  1. f(x+y)=f(x)f(y)\qquad{\forall x,\; y}
  2. f'(x)=f(x)\qquad{\forall x}
  3. f(1)=e
  4. f(0)=1
  5. \displaystyle\lim_{n\to-\infty} e^n=0\; y\;\displaystyle\lim_{n\to+\infty} e^n=+\infty
  6. \displaystyle\int^{e}_{1}\cfrac{dx}{x}=ln(x)\rfloor^e_1=ln(e)-ln(1)=1-0=1

Expresado para todo número complejo

Puede ser expresado para todo número complejo, con el conocimiento de las funciones seno y coseno. Considerando la expresión de la función exponencial (2), podemos sustituir el valor z=a+ib\qquad{,\forall z\in\mathbb{C}}

e^z=e^{a+ib}=e^ae^{ib}=e^a\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\cfrac{(ib)^{n}}{n!}\qquad{(3)}

Desarrollamos la suma

e^z=e^a\Bigg(\cfrac{(ib)^0}{0!}+\cfrac{(ib)^1}{1!}+\cfrac{(ib)^2}{2!}+...\Bigg)\qquad{(4)}

Consideramos i^2=-1

e^z=e^a\Bigg(1+ib-\cfrac{b^2}{2!}-i\cfrac{b^3}{3!}+\cfrac{b^4}{4!}+i\cfrac{b^5}{5!}+...\Bigg)\qquad{(5)}

Sacando factor común a la unidad imaginaria

e^z=e^a\Bigg(1-\cfrac{b^2}{2!}+\cfrac{b^4}{4!}-\cfrac{b^6}{6!}+...+i(b-\cfrac{b^3}{3!}+\cfrac{b^5}{5!}-\cfrac{b^7}{7!}+...)\Bigg)\qquad{(6)}

Vemos finalmente, que en (6) satisfacen a la función coseno y seno respectivamente, dando como resultado final

e^z=e^a\Big(cos(b)+isen(b)\Big)\qquad{(7)}

para cualquier z en el universo de los números complejos.

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