El número e es una de las constantes más importantes de las matemáticas junto al número π , pero sus inicios no brotaron específicamente de la matemática pura, sino más bien de la economía.
Inicios
El «descubrimiento» de la constante está acreditado a Jacob Bernoulli, quien estudió un problema particular del llamado interés compuesto. Si se invierte una Unidad Monetaria (UM) con un interés del 100% anual y se pagan los intereses una vez al año: 2 UM. Si se pagan los intereses 2 veces al año, dividiendo el interés entre 2, la cantidad obtenida es 1 UM multiplicado por tenemos . Si dividimos el año en 4 períodos (trimestres), al igual que la tasa de interés, se obtienen . En caso de pagos mensuales el monto asciende a . Por tanto, cada vez que se aumenta la cantidad de períodos de pago en un factor de n (que tiende a crecer sin límite) y se reduce la tasa de interés en el período, en un factor de , el total de unidades monetarias obtenidas está expresado por la siguiente ecuación:
Leonhard Euler comenzó a utilizar la letra e para identificar la constante en 1727, y el primer uso de e en una publicación fue en Mechanica, de Euler, publicado en 1736. Mientras que en los años subsiguientes algunos investigadores usaron la letra c, e fue la más común, y finalmente se convirtió en la terminología usual.
Definición
La generalidad de esta función es expresarla como , donde vemos que es un caso especial de la expansión de Taylor
Como resultado de la sustitución x=1 nos queda expresado el número e
Particularidades
La función exponencial –que puede escribirse tanto como -, tiene unas propiedades un tanto particulares, considerando
Expresado para todo número complejo
Puede ser expresado para todo número complejo, con el conocimiento de las funciones seno y coseno. Considerando la expresión de la función exponencial (2), podemos sustituir el valor
Desarrollamos la suma
Consideramos
Sacando factor común a la unidad imaginaria
Vemos finalmente, que en (6) satisfacen a la función coseno y seno respectivamente, dando como resultado final
para cualquier z en el universo de los números complejos.