El método Arquímedes para calcular pi

La constante más significativa de las matemáticas y la más antigua de la historia, tiene un concepto bastante sencillo, pero  asimismo unos decimales muy complejos.

Aunque ya era conocido por los cavernicolas, fue Arquímedes (siglo II a.C.) quien ofreció un magnífico método para calcular el valor de \pi con una proximidad cada vez mayor.

A pesar de que muchos lo conocen sobradamente, no está de más explicar el concepto de este número:

El número pi consiste en la relación de la longitud de la circunferencia con la longitud de su diámetro desde una geometría euclidiana. Es decir, dividir el perímetro con el diámetro, \pi=\cfrac{P}{D}.

Método

Consideremos una circunferencia de radio unidad (radio igual a 1), y si a ello le inscribimos un polígono regular de tal forma que se aproxime a un círculo, entonces podremos hallar más fácilmente su perímetro. A continuación veremos solo el método por defecto.

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Figura 1

Como sabemos el perímetro de un polígono regular (lados iguales) es P_n=na_n. En la figura 2 vemos un cuadrado inscrito a una circunferencia, y también podemos apreciar que a_k=2sen(45^o). Si duplicamos el número de lados, entonces obtendremos la bisectriz del ángulo, por tanto tendremos que dividir por el doble de lados agregados, así: a_{k+1}=2sen\bigg(\cfrac{45^o}{2^k}\bigg).

02

Figura 2

Consecuentemente, hallamos el perímetro P_n=2^{n+1}2sen\bigg(\cfrac{45^o}{2^{n-1}}\bigg), donde n=2^{n+1}, y k=n-1.

Finalmente, hallamos el límite para aproximar el valor de pi, donde D=2

\pi=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\cfrac{P_n}{D}=\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\Bigg[2^{n+1}sen\bigg(\cfrac{45^o}{2^{n-1}}\bigg)\Bigg]

para valores bastante grandes de n.

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3 respuestas a El método Arquímedes para calcular pi

  1. Pingback: ¡Feliz día de Pi! | Demostraciones Matemáticas

  2. Wil dijo:

    Muy bien, pero cómo se calcula el seno? convirtiendo esos grados a radianes? o sea, usando pi?

    Saludos.

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  3. math93 dijo:

    Hola Wil, no hay inconveniente con eso; se puede calcular tanto en sistema sexagesimal como en sistema radián.

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