Método Tartaglia-Cardano para ecuaciones cúbicas

Todos ya habremos visto, en la educación secundaria, la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas de la forma ax^2+bx+c=0{, donde \; a\ne 0}. Para recordarla un poco, veremos su método de resolución

x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2 -4ac}}{2a} ,  y  x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}

Donde el discriminante \Delta=b^2-4ac  nos dice de inmediato si existen soluciones o no. Si \Delta<0, entonces no existen soluciones (es decir, la curva no pasa por el eje de abscisas). Si \Delta>0, existen dos soluciones diferentes (dos veces por la recta abscisa). Si \Delta=0, existe una única solución (es decir que x_1=x_2).

Hasta aquí todo bien ¿no?

Pero ¿cómo puede resolverse una ecuación de tercer grado? Bien, esa pregunta se la hicieron los matemáticos Scipione (se cree que descubrió por primera vez la solución para ecuaciones cúbicas), Tartaglia y, aunque se conoce mejor por Cardano (que fue el primero en divulgar cómo resolverlas, en su libro Ars Magna, del latín”Arte Magno”), éste no comprendía antes de conocer a Tartaglia el método.

Raíces reales

Se puede notar que siempre hay por lo menos una solución real, independientemente de que el discriminante Δ sea mayor, menor o igual a cero. Es debido a que las funciones polinomiales no constantes tienen límites infinitos en +∞ y -∞, y las de grado impar tienen límites de signos contrarios. Como son funciones continuas, tienen que pasar por cero (lo que no sucede siempre con los de grados pares), por el teorema de los valores intermedios. Puede resolverse también mediante el método de Newton-Raphson (solo que se hallará una sola solución y no tres).

Se dice que una ecuación es de tercer grado si su exponente de variable mayor es igual a tres. A continuación el método empleado por Tartaglia y Cardano:

Sea la ecuación polinomial de grado tres, con variable x

Ax^3+Bx^2+Cx+D=0 \qquad{(1)}

donde A\ne 0\forall A, B, C, D\in\mathbb{R}, para casos generales.

Si dividimos todo por A, nos facilitará aún más la búsqueda de las raíces; así que con la ecuación

x^3+ax^2+bx+c=0 \qquad{(2)}

veremos una transformación de variables (sin inmutar el resultado) conocida como la transformación de Tschirnhaus, en la que sustituimos x=y-\frac{b}{3a} en (2)

\Big(y-\cfrac{b}{3a}\Big)^3+a\Big(y-\cfrac{b}{3a}\Big)^2+b\Big(y-\cfrac{b}{3a}\Big)+c=0 \qquad{(3)}

 Resolviendo mediante el Binomio de Newton y factoreando la variable nos queda

y^3+\Big(c-\cfrac{1}{3}\Big)y+\cfrac{1}{27}\Big(2b^3-9cb+27\Big)=0

y^3+py+q=0\qquad{(4)}

dado que p=c-\cfrac{1}{3}   y   q=\cfrac{1}{27}\Big(2b^3-9cb+27\Big)

Donde se elimina la expresión cuadrática.

A partir de la ecuación (4), procedemos nuevamente a la sustitución y=u+v, esta vez para encerrar una generalidad en el binomio de un cubo. Por tanto

u^3+3uv(u+v)+v^3+p(u+v)=0, que puede escribirse como un sistema de ecuaciones

\begin{cases}-p = 3uv \\ -q = u^3+v^3\end{cases}

que también es equivalente al sistema de ecuaciones u^3+v^3 = -q y u^3\cdot v^3 = -\left(\frac{p}3\right)^3.

Llegado a este punto y utilizando las fórmulas de Viète, u^3\;y\; v^3  son las soluciones de la ecuación de segundo grado

y^2+qy-\frac{p^3}{27} = 0.

Soluciones

Si Δ es positivo: La ecuación posee entonces una solución real y dos complejas. Si se establece que

u = \sqrt[3]{\frac{-q + \sqrt{\Delta}}2}\quad\mbox{y}\quad v = \sqrt[3]{\frac{-q - \sqrt{\Delta}}2}

Si Δ es cero: La ecuación posee entonces dos soluciones reales, una simple y una doble :

\begin{cases}y_0= 2\sqrt[3]{\frac{-q}{2}} = -2\sqrt{\frac{-p}{3}} = \frac{3q}{p} \\ y_1=y_2= -\sqrt[3]{\frac{-q}{2}} = \sqrt{\frac{-p}{3}} = \frac{-3q}{2p} \end{cases}

Si Δ es negativo: La ecuación posee entonces tres soluciones reales. Sin embargo, es necesario hacer una incursión en los números complejos para encontrar todas las soluciones. Las soluciones son la suma de dos complejos conjugados j^ku, y \overline{j^ku} donde u=\sqrt[3]{\frac{-q + i\sqrt{|\Delta|}}{2}} y k\in\{0,1,2\}\,; es el siguiente conjunto :

\begin{cases}y_0 = u +\bar{u} \\ y_1 = j u +\overline{ju} \\ y_2= j^2u +\overline{j^2u} \end{cases}

La forma real de las soluciones se obtiene escribiendo j^ku en forma trigonométrica, obteniéndose :

y_k = 2 \sqrt{\frac{-p}{3}} \cos{\left(\frac13\arccos{\left(\frac{-q}{2}\sqrt{\frac{27}{-p^3}}\right)}+ \frac{2k\pi}{3}\right)}\qquad\mbox{ con }\qquad k\in\{0,1,2\}.


REFERENCIAS:

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Una respuesta a Método Tartaglia-Cardano para ecuaciones cúbicas

  1. math93 dijo:

    Considerando la ecuación (4) y sus valores “p”, “q”, también podemos expresar las raíces cúbicas mediante la expresión
    x=\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{q}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}-\sqrt[3]{\frac{q}{2}+\sqrt{(\frac{p}{2})^2+(\frac{p}{3})^3}}

    Me gusta

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