Igual distancia para cualquier radio

Navegando por unos vídeos del programa argentino Alterados por Pi, me encuentro con un problema (más bien curiosidad, en el min 22:35) propuesta por el periodista y doctor en ciencias matemáticas Adrián Paenza -conductor del programa de televisión- donde propone lo siguiente:

Considerando una esfera (imaginemos de dimensión dos) de longitud m, lo bordeamos con un hilo. Luego le añadimos k unidades al hilo, y formamos con él otra circunferencia, que sea concéntrica a la esfera. Notamos que la distancia de los bordes de los círculos es siempre la misma sin importar el tamaño de la esfera. Puede ser lo mismo si probamos con una naranja que con la Tierra misma.

Pero, ¿cómo es ésto posible?

Primero, consideremos las circunferencias

01

Llamemos a la primera circunferencia C_1 y a la segunda C_2, de radios r y R respectivamente. Luego, consideremos la distancia entre uno y otro será α.

02

Bien, nuestro hilo tiene una cierta longitud, que puede medirse con la fóruma 2\pi r; ahora agregamos una cierta cantidad a nuestra circunferencia C_1, digamos k, y ésta será la nueva circunferencia C_2 de longitud 2\pi r+k=2\pi R.

Como nuestro objetivo es conocer el valor de α, debemos recurrir a restar los radios, así sobrará la distancia entre los círculos. Para hallar el radio mayor, es preciso despejar de la ecuación anterior, así

\cfrac{2\pi r+k}{2\pi}=R

Restamos R con r

\cfrac{2\pi r+k}{2\pi}-r=\alpha   ,

r+\cfrac{k}{2\pi}-r=\alpha

Finalmente se anulan los radios menores, quedando solamente

\cfrac{k}{2\pi}=\alpha

sin importar cuánto valgan el radio menor o el mayor.

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