La serie geométrica y la suma infinita

Poder calcular una suma infinita parece una paradoja, pues es imposible sumar infinitamente cada término; no obstante, en este artículo veremos un procedimiento lógico para llevar a cabo esta empresa. Ya habíamos visto la definición de las series, y en este caso estudiaremos la serie geométrica, que es una serie en la cual la razón entre los términos sucesivos de la serie permanece constante, donde varía la potencia en cada sumandoEn notación matemática \sum_{n=0}^\infty{ar^n}.

Sea s=a+ar+ar^2+ar^3+ . . . +ar^{n-1} (1) una suma de n términos, de primer término a\in\mathbb{R} y razón r\in\mathbb{R}.

Si le multiplicamos la razón r a ambos miembros nos queda

rs=ar+ar^2+ar^3+ar^4 . . . +ar^{n} (2)

Ahora restamos (1) con (2) para disminuir los términos

s-rs=a+ar-ar+ar^2-ar^2+ . . . +ar^{n-1}-ar^{n-1}-ar^{n}

donde rescatamos la siguiente fórmula

s(1-r)=a-ar^{n}\Rightarrow s=a\cfrac{1-r^n}{1-r}

La convergencia de la serie geométrica está dada por r\in\mathbb{R} no nula, si y solamente si -1<r<1, y su suma tiene por valor la siguiente fórmula

\displaystyle\sum_{n=k}^{\infty} r^n=\cfrac{r^{k}}{1-r}

Donde n=k significa en qué número comienza la suma.

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2 respuestas a La serie geométrica y la suma infinita

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