Baricentro en geometría analítica

Teorema:

Para todo triángulo cualquiera, el baricentro (punto de trisección de las medianas) tiene como coordenada:

G=(\tfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\tfrac{y_1+y_2+y_3}{3})

Demostración:

 Sea ΔABC un triángulo cualquiera donde A=(x_1, y_1), B=(x_2, y_2), C=(x_3, y_3), si trazamos el punto medio a cada uno de los lados AC, AB y CB usamos la fórmula D=(\tfrac{x_1+x_3}{2};\tfrac{y_1+y_3}{2}), E=(\tfrac{x_1+x_2}{2};\tfrac{y_1+y_2}{2})F=(\tfrac{x_2+x_3}{2};\tfrac{y_3+y_2}{2}) respectivamente.Baricentro

 Si trazamos una recta paralela a una de las medianas (segmento desde el vértice hasta el punto medio opuesto) en este caso a AF, tenemos que desde el punto E’ -que es nuevamente la mitad del punto medio del segmento CB– hasta el punto E, forman un segmento que corta a GB, de  la misma manera el segmento DD'. Por el teorema de Tales vemos que 2\tfrac{DG}{D'F}=\tfrac{GB}{FB}, entonces podemos apreciar que 2DG=GB. De forma análoga se demuestran que cumplen también para AF y CE.

 Luego verificamos la razón y vemos que el punto G está a razón 2:1 de los vértices, siendo la fórmula para hallar el punto de acuerdo a una razón:

x=(\tfrac{x_1+rx_m}{1+r})            y=(\tfrac{y_1+ry_m}{1+r})

Aquí fijamos un punto que es G=(x_1, y_1).

Luego reemplazamos x_m y y_m por la coordenada de punto medio y sabemos que r=2 en G:

x=(\tfrac{x_1+2\tfrac{(x_2+x_3)}{2}}{1+2})   ;   y=(\tfrac{y_1+2\tfrac{(y_2+y_3)}{2}}{1+2})

Finalmente, las coordenadas para el baricentro es:

G=(\tfrac{x_1+x_2+x_3}{3};\tfrac{y_1+y_2+y_3}{3}).

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