Números perfectos

Los números perfectos son todos aquellos números de los cuales la suma de sus divisores es igual al mismo número. Euclides (325 – 265 a. C.) fue el primero en conocer esta propiedad,  en efecto nos proporciona un sistema para hallarlos, en la proposición 36 del libro IX de los Elementos:

Si colocamos los números que queramos comenzando desde una unidad en proporción doble de forma continuada, hasta que su suma se convierta en un primo, y si esa suma es multiplicada por el número final, el producto será perfecto.

Aquí “proporción doble” significa que cada número de la secuencia es dos veces el número precedente.

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Portada del libro los ‘Elementos’ de Euclides

Pero Euclides no se queda hasta aquí, nos ofrece asimismo una prueba rigurosa de la Proposición, dando así el primer resultado de números perfectos y utilizando lo que era ya conocido por los Pitagóricos, de que

1+2+4+8+^{...}+2^{k-1}=2^{k}-1

 Podemos enunciar esta proposición en un lenguaje más moderno

Si para algún k>1, 2^k-1 es primo, entonces 2^{k-1}(2^k-1) es un número perfecto.

Trabajos posteriores como el de Nicómaco de Gerasa (60–120), quien en su obra Introductio Arithmetica proporciona una clasificación de los números basada en el concepto de número perfecto.

Nicómaco enuncia ciertos resultados que involucran a los números perfectos. Todos
ellos se proporcionan sin ninguna prueba. Estos en un lenguaje moderno se enuncian
de la siguiente forma:

(1) El enésimo número perfecto posee n dígitos.
(2) Todos los números perfectos son pares.
(3) Todos los números perfectos terminan de forma alternada en 6 y 8.
(4) El algoritmo de Euclides para generar números perfectos proporcionará todos ellos, cada número perfecto es de la forma 2^{k-1}(2^k-1), para algunos k > 1, donde 2^k-1 es primo.
(5) Hay infinitos números perfectos.

Sin embargo, las afirmaciones (1) y (3) son falsas, mientras que el resto todavía son preguntas abiertas. Desde la época de Nicómaco se sabía más sobre las cinco afirmaciones.

Pues bien, esperamos que alguien se atreva a probar que no existen números perfectos impares, o bien, a probar que existe al menos uno entre los infinitos números naturales.


REFERENCIAS:

  • El Legado Matemático de Leonhard Euler a trescientos años de su nacimiento. Alfonso Anzaldo Meneses, Joaquín Delgado, Felipe Monroy Pérez. México. 2007.
  • http://es.wikipedia.org/wiki/Euclides

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