Intersección en funciones inversas

Para comprender la demostración de funciones -en este caso su inversa- en teoría de conjuntos, veremos en este caso la intersección:

Sea A\rightarrowB una función, \mathfrak{F} \ \subset \mathfrak{B} \(B), tenemos la siguiente proposición

f^{-1}\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M}\bigg ]=\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}}f^{-1} [M]}\bigg ]

\mathit{DEMOSTRACION:}

Comencemos con: f^{-1}\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M}\bigg ] \subset {\bigcap_{M\in\mathfrak{F}}f^{-1} [M]}

Como sabemos, para demostrar una igualdad es preciso verificar la doble inclusión, es decir, si un subconjunto está incluido en otro y con éste se verifica lo mismo, entonces se trata de una igualdad.

(1)  Si X\in\mathfrak{F}, entonces nos queda que \bigcap_{M\in\mathfrak{F}} \subset M  \Rightarrow f^{-1}\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M}\bigg ] \subset {f^{-1}[M]} \Rightarrow f^{-1}\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M}\bigg ] \subset {\bigcap_{M\in\mathfrak{F}}f^{-1} [M]}.

Lo cual demuestra la inclusión. Ahora solo debe probarse del otro lado: {\bigcap_{M\in\mathfrak{F}}f^{-1} [M]} \subset f^{-1}\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M}\bigg ]

(2) Sea x\in f^{-1}\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M}\bigg ], arbitrario pero fijo, tenemos que x\in f^{-1}[M], como \forallM\in\mathfrak{F}  \Rightarrow  \exists y \in M : x=f^{-1}(y)\Rightarrow y \in \bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M\Rightarrow x\in f^{-1}\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M}\bigg ]; y culmina la inclusión en 

{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}}f^{-1} [M]} \subset f^{-1}\bigg [{\bigcap_{M\in\mathfrak{F}} M}\bigg ]

De donde finalmente se deduce que (1) y (2) son iguales.//


La demostración fue extraída  de la que nos proporcionó la Prof. Herenia de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales de la UNA.

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